2013年中考数学复习课件：第一部分 第三章 第4讲 二次函数

第4讲二次函数1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题．4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．x＝－b2a函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象a0a0性质开口向上向下对称轴________________1．二次函数的概念y＝ax2＋bx＋c定义：形如______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数．2．二次函数的图象和性质x＝－b2a当x－b2a时，y随x的增大而减小当x－b2a时，y随x的增大而增大函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)顶点坐标________________增减性当__________时，y随x的增大而增大当__________时，y随x的增大而减小最值有最________值，即______________续表－b2a，4ac－b24a有最大值，即ymax＝4ac－b24a－b2a，4ac－b24ax－b2ax－b2aymin＝4ac－b24a小性质3.系数a，b，c的几何意义aa，b右c(1)开口方向：____的符号决定抛物线的开口方向．(2)当________同号时，对称轴在y轴左边；当a，b异号时，对称轴在y轴______边．(3)____的符号确定抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴或原点．已知条件解析式的选择表达式抛物线上的三点一般式______________________顶点或对称轴、最大(小)值顶点式______________________抛物线与x轴的两个交点交点式______________________4．二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的个数Δ0两个不相等的实数根________Δ＝0________________一个Δ0不存在________5.y＝ax2和y＝a(x－h)2＋k的图象关系左上y＝a(x－h)2＋k的图象．两个两个相等的实数根06．二次函数与一元二次方程的关系)D1．抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是(A．(2，－3)B．(－2,3)C．(2,3)D．(－2，－3)2．(2011年广东肇庆)二次函数y＝x2＋2x－5有()A．最大值－5C．最大值－6B．最小值－5D．最小值－6D3．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是()Cy＝－x2＋5y＝x2－1A．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x－2)2－3B．y＝(x＋2)2＋1D．y＝(x＋2)2－34．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过点(2,1)；②当x0时，y随x的增大而减小．这个函数的解析式为________________(写出一个即可)．5．将抛物线y＝x2＋1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是__________________．考点1二次函数的图象和性质1．(2011年广东广州)下列函数中，当x0时，y值随x值增大而减小的是()D5A2．(2012年广东深圳)二次函数y＝x2－2x＋6的最小值是________．3．(2012年广东广州)将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为()A．y＝x2－1B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2D．y＝(x＋1)2A．y＝x2B．y＝x－1C．y＝34xD．y＝1x考点2确定二次函数的关系式例1：(2010年浙江金华)已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点A(2，－3)，B(－1,0).(1)求二次函数的解析式；(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移________个单位．解：(1)由已知，有4a＋2b－3＝－3，a－b－3＝0，即4a＋2b＝0，a－b＝3，解得a＝1，b＝－2.∴所求的二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，故应沿y轴向上平移4个单位．4．(2010年广东中山)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图3－4－1，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b，c的值，并写出此时二次函数的解析式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．图3－4－1解：(1)根据题意，得－1－b＋c＝0，c＝3.解得b＝2，c＝3.所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.考点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系5．(2012年广东梅州)(1)已知一元二次方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1，x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q；(2)已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A，B两点，且过点(－1，－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．(1)证明：∵a＝1，b＝p，c＝q，p2－4q≥0，∴x1＋x2＝－ba＝－p，x1·x2＝ca＝q.(2)解：把(－1，－1)代入y＝x2＋px＋q，得p－q＝2，即q＝p－2.设抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A，B两点的坐标分别为(x1,0)，(x2,0)．∵d＝x1－x2，∴d2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝p2－4q＝p2－4p＋8＝(p－2)2＋4.∴当p＝2时，d2的最小值是4.6．(2012年广东珠海)如图3－4－2，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.图3－4－2(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m＝0,解得m＝－1.∴二次函数的解析式为y＝(x－2)2－1.当x＝0时，y＝(0－2)2－1＝3,∴C(0,3)．∵点B与C关于直线x＝2对称，∴B(4,3)．于是有0＝k＋b，3＝4k＋b，解得k＝1，b＝－1.∴一次函数的解析式为y＝x－1.(2)x的取值范围是1≤x≤4.x……y……7．(2010年广东广州)已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.(1)该抛物线的对称轴是________________，顶点坐标________；(2)选取适当的数据填入下表，并在图3－4－3的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；图3－4－3(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．x…－10123…y…－1232－1…解：(1)x＝1(1,3)(2)如图D7.图D7(3)因为x1，x2在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2，所以y1＜y2.规律方法：图象上的点的位置的高低体现了函数值的大小，函数值与自变量的取值实际上就是方程的解与不等式的解集．考点4二次函数的应用例2：某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是__________元；这种篮球每月的销售量是__________个(用含x的代数式表示)；(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并求出此时篮球的售价应定为多少元．解：(1)10＋x500－10x(2)设月销售利润为y元．根据题意，得y＝(10＋x)(500－10x)．整理，得y＝－10(x－20)2＋9000.当x＝20时，y有最大值为9000,20＋50＝70(元)．答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球售价应定为70元．8．(2012年四川巴中)某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)根据题意，得y＝(60－50＋x)(200－10x)，整理，得y＝－10x2＋100x＋2000(0x≤12)；(2)由(1)，得y＝－10x2＋100x＋2000＝－10(x－5)2＋2250.故当x＝5时，最大月利润y为2250元．(3)设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积．9．(2011年广东肇庆)已知抛物线y＝x2＋mx－34m2(m0)与x轴交于A，B两点．(1)求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；(2)若1OB－1OA＝23(O是坐标原点)，求抛物线的解析式；(1)证明：∵m0，∴x＝－b2a＝－m20，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧．(2)解：设抛物线与x轴的交点坐标为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝－m0，x1·x2＝－34m20，∴x1与x2异号．又1OB－1OA＝230，∴OAOB.由(1)，知：抛物线的对称轴在y轴的左侧．∴x10，x20.∴OA＝|x1|＝－x1，OB＝x2，代入1OB－1OA＝23，得1x2－1－x1＝1x2＋1x1＝23，即x1＋x2x1·x2＝23，从而－m－34m2＝23，解得m＝2.∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x－3.(3)解法一：当x＝0时，y＝－34m2，∴抛物线与y轴的交点坐标为C0，－34m2.∵△ABC是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB，∴∠CAB＝90°－∠ABC，∠BCO＝90°－∠ABC.∴∠CAB＝∠BCO.∴Rt△AOC∽Rt△COB.∴OCOB＝AOOC，即OC2＝OA·OB.∴－34m22＝－x1·x2，即916m4＝34m2，解得m＝233.此时－34m2＝－342332＝－1，∴点C的坐标为(0，－1)．∴OC＝1.又(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(－m)2－4·－34m2＝4m2，m0，∴|x2－x1|＝2m，即AB＝2m＝433.∴△ABC的面积＝12·AB·OC＝12×433×1＝233.解法二：当x＝0时，y＝－34m2，∴点C0，－34m2.∵△ABC是直角三角形，∴AB2＝AC2＋BC2.∴(x1－x2)2＝x21＋－34m22＋x22＋－34m22.∴－2x1·x2＝98m4.∴－2－34m2＝98m4.解得m＝233.∴S△ABC＝12×|AB|·|OC|＝12|x1－x2|·－34m2＝12×2m×34m2＝233.