椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

1椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例1：双曲线2222yx1a0,b0ab的两个焦点为12F,F，若P为其上一点，且12PF2PF，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,【解析】12PF2PF，12PFPF2a，1212PFPFFF（当且仅当12PFF，，三点共线等号成立）c6a2ce3,e1a又e1,3,选B例2、如果椭圆2222yx1ab0ab上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（）A．(0,21]B．[21,1)C．(0,31]D．[31,1)[解析]设2PFm，由题意及椭圆第二定义可知1PFme122aPFPFm(e1)2ame12112PFPFFF（当且仅当12PFF，，三点共线等号成立）mme2c，把2ame1代入化简可得2a1e2ce12e2e10e21又e1e21,1,选B二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例1：双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点为12,FF，若P为其上一点，且122PFPF，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．(1,3)Ｂ．(1,3]Ｃ．(3,)Ｄ．[3,)【解析】设2PFm，12(0)FPF，当P点在右顶点处，222(2)4cos254cos2mmmceam．11,(1,3]e．三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1：双曲线2222yx1a0,b0ab的两个焦点为12F,F，若P为其上一点，且12PF2PF，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,解：12PFPF2a,2PF2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得2PF2a可知222AFPF,OFOAca2a，cc3ae3a又e1e1,3,选B例2．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。解：由题意得因为，所以，从而，2。又因为P在右支上，所以。。。例3．椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA|＝22abcccw|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或m又e∈(0,1)故e∈1,12答案：D例4、已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc．若双曲线上存在点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是．【解析】212211sinsinPFPFFPFFPF（由正弦定理得），211PFaPFce，21ePFPF．又122(1)PFPFae，2(1)2ePFa，221aPFe，由双曲线性质知2PFca，21acae，即211ee，得2210ee，又1e，得(1,21)e．例5、设椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12FF、，如果椭圆上存在点P，使∠12FPF=900，求离心率e的取值范围。解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆22221(0)xyabab的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2即c2≥a2-c2由此可得，）e[2213四、利用圆锥曲线中、xy的范围建立不等关系例1、双曲线22221(0,0)xyabab的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．(1,2]Ｂ．[2,)Ｃ．(1,21]Ｄ．[21,)【解析】22000(1)aaexaxexacc0,xa2(1),aaeac211112101212,aeeeece而双曲线的离心率1e，(1,21],e例2、设点P在双曲线)0b,0a(1byax2222的左支上，双曲线两焦点为21FF、，已知|PF|1是点P到左准线l的距离d和|PF|2的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设|PF|d|PF|221得：|PF||PF|d|PF|121。由双曲线第二定义ed|PF|1得：e|PF||PF|12，由焦半径公式得：eexaexa，则aeea)e1(x2，即01e2e2，解得21e1。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双曲线1byax2222的左支上则ax；若点p在双曲线1byax2222的右支上则ax。例2．设椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12FF、，如果椭圆上存在点P，使∠12FPF=900，求离心率e的取值范围。解析1：设P（x，y），又知FcFc1200（，），（，），则FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc1212121222229000()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得xacababFPFxaacababa2222222122222222229000但由椭圆范围及知即4可得，即，且从而得，且所以，）cbcaccaecaecae2222222221221[解析2：由焦半径公式得||||||||||PFaexPFaexPFPFFFacxexacxexcaexcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222caeae得，）[例3已知椭圆2222xyab=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围．解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a,0＜y0≤b．∵A（a，0），B（a，0），∴PAk=axy00，PBk=axy00．∵∠APB=1200，∴tan∠APB=-3，又tan∠APB=1PBPAPBPAkkkk=2202002ayxay，∴2202002ayxay=3，……①而点P在椭圆上，∴b2x02+a2y02=a2b2……②由①、②得y0=)(32222baab．∵0＜y0≤b，∴0＜)(32222baab≤b．∵a＞b＞0，∴2ab≤3（a2-b2），即4a2b2≤3c4，整理得，3e4+4e2-4≥0．考虑0＜e＜1，可解得36≤e＜1．四、利用判别式建立不等关系例1、设椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12FF、，如果椭圆上存在点P，使∠12FPF=900，求离心率e的取值范围。解：由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa1212221222245又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220||||||||||()||||()4801222222222aacecae()因此，e[)221例2、已知双曲线)0a(1yax222与直线l：1yx交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x得：0a1,0a1y2y)a1(2222时，直线与双曲线有两个不同的交点则0，0)a2(a4)a1(442222，即2a2且1a，所以23a11ace2222，即26e且2e。五、利用均值不等式建立不等关系例1、已知椭圆22221xyab(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°则椭圆离心率e的取值范围；解：设|PF1|=m，|PF2|=n则根据椭圆的定义，得m+n=2a，①又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°∴由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2．②①②联解，得mn＝224()3ac又∵mn≤2()2mn＝a2，∴224()3ac≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得12≤e＜1例2、已知点P在双曲线22221(0,0)xyabab的右支上，双曲线两焦点为21FF、，|PF||PF|221最小值是a8，则双曲线离心率的取值范围。解析：a8a4|PF|a4|PF||PF|)a2|PF(||PF||PF|222222221，由均值定理知：当且仅当a2|PF|2时取得最小值a8，又ac|PF|2所以aca2，则3e1。6例3、设椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12FF、，如果椭圆上存在点P，使∠12FPF=900，则离心率e的取值范围。解析：由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||得ca2212所以有，）e[221六、利用二次函数的性质建立不等关系设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（）Ａ．(2,2)Ｂ．(2,5)Ｃ．(2,5)Ｄ．(2,5)【解析】222(1)11(1)1aeaa．11,01aa，根据二次函数值域可得25e．七、利用非负数性质例已知过双曲线)0b,0a(1byax2222左焦点1F的直线l交双曲线于P、Q两点，且OQOP（O为原点），则双曲线离心率的取值范围。解析：设)y,x(Q)y,x(P2211、，过左焦点1F的直线l方程：ctyx，代入双曲线方程得：0btcyb2y)atb(422222，由韦达定理得：222221atbtcb2yy，2212122121222421c)yy(ctyyt)cty)(cty(xx,atbbyy，由OP⊥OQ得0yyxx2121，即：0catbctb2atb)1t(b222222222224，解得：222242bacabt，因为0t2，所以0cab224，则253e,01e3e,0cca3a2244224，所以215e。练习1、设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（A）A．[32，1)B.（32，1)C.(0，32)D.(0，32]解：设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．7在△PF1F