椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程周朝智13517532328张小媚13737736144人民教育出版社猜猜看取一条一定长的绳子，让其两端固定在两个固定的点F1、F2上，当绳子长大于F1、F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖慢慢移动，看看将画出一个什么图形？答案、打开几何画板画图从画图过程中，我们可以看到PF1、PF2的长的和始终是4.50厘米，即绳子的长度，而椭圆就是与点F1、F2的距离的和等于绳子长(常数，大于|F1F2|)的点P的集合的轨迹在图中我们把定点F1、F2叫做椭圆的焦点，这两个焦点的距离叫做椭圆的焦距焦距椭圆的定义定义的应用举例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。解:(1)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆。(3)因|MF1|+|MF2|=3=|F1F2|=2，故点M的轨迹是椭圆。2对于右边的椭圆，要求其方程的表达式。首先建立直角坐标系xOy，x轴经过点F1F2,并且O点与线段F1F2的中点重合设P（x，y）是椭圆上任意一点，焦距为2c（c0），则F1F2的坐标分别为(-c，0)、（c，0），又设M与F1和F2的距离和等于常数2a于是我们有22221212||||2,||(),||()PFPFaPFxcyPFxcy所以有2222()()2xcyxcyaoxy椭圆的标准方程222()acxaxcy2222()()2xcyxcya所以有两边平方、整理得两边再平方、整理得22222222()()acxayaac由定义，所以2222,0,acac222,0acbboxy代入方程得22221,(0)abyxab椭圆的标准方程令由上述的推导过程我们可以得知焦点在X轴上的标准方程为22221,(0)abyxab同理，焦点在Y轴上时，焦点F1、F2的坐标变为（0，-c）、（0，c），a、b的意义和上面一样，则我们所得的方程变为22221,(0)abyxab此时相应的图形形状变为XYo椭圆的标准方程已知B、C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系。由题意画出草图，即右图由三角形ABC的周长等于16且|BC|=6可知，点Ａ到B、C两个定点的距离的和是常数，即｜AB｜＋｜AC｜＝16－6=10，因此，由前面椭圆的定义知点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆课堂练习1解：由上面的分析，建立直角坐标系xoy，使x轴经过B、C点，原点o与BC的中点重合由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6,有|AB|+|AC|=10因此，由前面椭圆的定义知点A的轨迹是椭圆，2221653b但当A在直线BC上，y=0。ABC不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是221,(0)2516yyx且2c=6，2a=16-6=10，xyo注意：三角形成立的条件所以c=3，a=5，打开几何画板已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2.从这个圆上任意的一点P向x轴作垂线PP’,求线段PP‘中点M的轨迹分析：已知点P的轨迹方程，要求出点M的轨迹，我们可以通过P、M之间的关系，利用点P的轨迹来求点M的轨迹yXMP'P解：设M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0）所以x=x0，y=y0/2课堂练习2x=x0，y=y0/2yXMP'P因为点P在圆224yx上，所以22004yx将x=x0，y=y0/2代入方程（1）中得(1)2244yx所以M的轨迹是一个椭圆2214xy即打开几何画板课堂练习3已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，求动点Q的轨迹所以动点Q的轨迹是以F1为定点，2a为定长的圆。yxPF1F2Q打开几何画板解：延长F1P到Q，由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a（a为定值），而|PQ|=|PF2|，则|PF1|+|PQ|=2a，即|F1Q|=2a，课时小结重点：椭圆定义及其标准方程难点：椭圆标准方程的推导。1、在求解符合某种条件的点的轨迹方程时，要选择适当的坐标系2、从已知条件或椭圆的标准方程中，判断焦点所在的坐标轴3、要学会数形结合注意：课后作业第1题的（3）第2题第4题的（2）课本96页