椭圆双曲线和抛物线

第15章椭圆、双曲线和抛物线15.1.2椭圆的几何性质15.1.2椭圆的几何性质22221(0)xyabab我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质.(1)范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都满足不等式22221,1,,xyxaybab即xayb和这说明椭圆位于直线所围成的矩形内.15.1.2椭圆的几何性质在标准方程中，把x换成-x，或把y换成-y，或把x，y同时换成-x，-y，方程都成立.(2)对称性这说明，椭圆关于y轴和x轴对称，又关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心也叫作椭圆的中心.15.1.2椭圆的几何性质在标准方程中，令x=0，得，这说明是椭圆与y轴的两个交点.同理，令y=0，得，这说明是椭圆与x轴的两个交点.yb12(0,),(0,)BbBbxa12(,0),(,0)AaAa(3)顶点我们把椭圆与它的对称轴的交点叫作椭圆的顶点.椭圆的焦点所在的对称轴上两个顶点的连线段叫作椭圆的长轴；12AA12BB另一个对称轴两个顶点的连线段叫作椭圆的短轴.长轴长为2a，短轴长为2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.15.1.2椭圆的几何性质椭圆的焦距与长轴的比叫作椭圆的离心率，记作e，即22ccaacea(4)离心率（0e1）222211bacceaaae越大时，就越小，从而椭圆越扁；e越小时，就越大，从而椭圆越接近于圆.baba由当且仅当a=b时，c=0，两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为222xya15.1.2椭圆的几何性质椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程a,b,c的关系图形22221(0)xyabab22221(0)yxabab222(0,0)cababac122MFMFa15.1.2椭圆的几何性质椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标顶点坐标离心率对称性12(,0),(,0)FcFc12(0,),(0,)FcFc(,0),(,0)(0,),(0,)aabb(0,),(0,)(,0),(,0)aabb(01)ceea对称轴为x轴和y轴；对称中心为坐标原点；长轴长为2a，短轴长为2b.15.1.2椭圆的几何性质例1求椭圆的长轴长、短轴长、顶点的坐标、焦点的坐标和离心率，并画出图形.2212516xy解由于，得，，16,2522ba4,5ba31625c)0,5(),0,5(21AA)4,0(),4,0(BB53ace焦点在x轴上，因此，椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8，顶点为，，离心率.22554xy由于椭圆关于x轴和y轴对称，因此，只要先画出椭圆在第一象限及边界的部分，将已知方程变形为15.1.2椭圆的几何性质5,025542xxy，椭圆在第一象限及边界的部分是函数的图形.列表：x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆.15.1.2椭圆的几何性质例2已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为12，离心率为，求椭圆的标准方程.13解由于31,122acea221.3632xy由于焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为,263131,6aca所以222226232.bac从而15.1.2椭圆的几何性质教材练习15.1.212514422yx16422yx125922yx531.说出下列椭圆的顶点的坐标:(1)；(2).2.椭圆的长轴长是，短轴长是，焦点坐标为，离心率是.3.已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为6，离心率为，求椭圆的标准方程.4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的三倍，并且过点(3,0)，求椭圆的标准方程.