高等数学课件-三重积分

高等数学第三节三重积分一.定义:n，，,i积,任意分成个小闭区域，),,(zyxf设是空间有界闭区域将上的有界函数，1v2v,nviv其中表示第个小闭区域，也表示它的体iv),,(iiiiiiivf),,(),,2,1(ni在每个上任取一点作乘积，并作和iiiniivf),,(1高等数学如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),,(zyxf在闭区域上的三重积分，记为dvzyxf),,(,即dvzyxf),,(iiiniivf),,(lim10..叫做体积元素其中dv高等数学,的平面来划分用平行于坐标面在直角坐标系中，如果.lkjizyxv则三重积记为dxdydzzyxf),,(iiiniivf),,(lim10..积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydz高等数学１．直角坐标系中将三重积分化为三次积分．xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy)(2xyy),(yx如图，,Dxoy面上的投影为闭区域在闭区域),,(:),,(:2211yxzzSyxzzS,),(作直线过点Dyx穿出．穿入，从从21zz二.三重积分的计算高等数学xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy)(2xyy),(yx而D:)()(21xyyxybxa:),,(),(21yxzzyxzDyx),(:),,(),(21yxzzyxzbxa)()(21xyyxy高等数学函数，则的只看作看作定值，将先将zzyxfyx),,(,)1(),(),(21),,(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分在闭区间计算DyxF),()2(.]),,([),(),(),(21DyxzyxzDddzzyxfdyxF而D:)()(21xyyxybxadxdydzzyxf),,(.),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx形内部时进一次出一次情轴的直线穿过只适用于平行于z高等数学dxdydzzyxf),,(.),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx次序为xyz的三次积分的三次积分次序为yzx次序为zxy的三次积分同理可化为dvzyxf),,(化为高等数学zdxdydz解zzydxdyzdz101010zdyzyzdz1010)1(102)1(21dzzz241.xozy111例1计算三重积分zdxdydz，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域.高等数学例2化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中积分区域为由曲面222yxz及22xz所围成的闭区域.解由22222xzyxz,得交线投影区域,122yx高等数学故：22222221111xzyxxyxx,.),,(11221122222xyxxxdzzyxfdydxI高等数学zdxdydz解（二）zzydxdyzdz101010xozy111zDzy10zyx10Dz:zy1zyx1,10zDdxdyzdz)1)(1(21zzdxdyzD原式102)1(21dzzz241.例1计算三重积分zdxdydz，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域.高等数学截面法的一般步骤：(1)把积分区域向某轴（例如z轴）投影，得投影区间],[21cc；(2)对],[21ccz用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面zD;(3)计算二重积分zDdxdyzyxf),,(其结果为z的函数)(zF；(4)最后计算单积分21)(ccdzzF即得三重积分值.zdxdydzzyxf),,(zDdxdyzyxf),,(21ccdz高等数学例3计算三重积分dxdydzz2，其中是由椭球面1222222czbyax所成的空间闭区域.:,|),,{(czczyx}1222222czbyax原式,2zDccdxdydzzxyzozD解高等数学)1()1(222222czbczadxdyzD),1(22czabccdzzczab222)1(.1543abc|),{(yxDz}1222222czbyax原式高等数学,0,20.z的柱面坐标．就叫点个数，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzPxoyMzyxM,,,),,(规定：xyzo),,(zyxM),(P2．柱面坐标系中将三重积分化为三次积分．高等数学.,sin,coszzyx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(Pzxyzo高等数学dxdydzzyxf),,(.),sin,cos(dzddzfdxyzodzdd如图，柱面坐标系中的体积元素为,dzdddv高等数学例1计算zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解zz34222,3,1z知交线为由zzyxsincos,高等数学23242030zdzddI.413面上，如图，投影到把闭区域xoy.20,3043:22，z高等数学例２计算dxdydzyxI)(22，其中是曲线zy22，0x绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面,2z8z所围的立体.解由022xzy绕oz轴旋转得，旋转面方程为,222zyx所围成的立体如图，高等数学:2D,422yx.222020:22z:1D,1622yx,824020:21z所围成立体的投影区域如图，2D1D高等数学,)()(21222221dxdydzyxdxdydzyxIII218212DIdddz,345222222DIdddz,625原式I345625336.82402022dzdd22202022dzdd高等数学,r0.20,0规定：为常数r为常数为常数圆锥面；球面；半平面．3．球面坐标系中将三重积分化为三次积分．Pxyzo),,(zyxMrzyxA),,(zyxM),,(rM高等数学.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为如图，Pxyzo),,(zyxMrzyxA，轴上的投影为在点，面上的投影为在设点AxPPxoyM.,,zPMyAPxOA则有2222xyz高等数学dxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为,sin2ddrdrdvdrxyzodrdsinrrdddsinr如图，高等数学Oyzx特殊区域的球面坐标表示•球体:2222xyza02.0,0,ra•上半球体:02.02,0,ra•球体在第一卦限部分:02.02,0,ra•球顶锥体:02.0,0,ra球面方程Oyzx高等数学特殊区域的球面坐标表示•球顶锥体:02.0,02cos,ra22cosrar2222xyzaz球面方程2cosra•球体:02.02,02cos,raOyz1()rr2()rr如图平面图形绕z轴旋转一周而成的区域:02.0,12()(),rrr高等数学例3计算dxdydzyxI)(22，其中是锥面222zyx，与平面az)0(a所围的立体.解1采用球面坐标az,cosar222zyx,4,20,40,cos0:ar高等数学dxdydzyxI)(22drrdda40cos03420sinda)0cos(51sin255403.105a高等数学解2采用柱面坐标,:222ayxDdxdydzyxI)(22aadzdd2020302()aad]54[254aaa.105a222zyx,z,20,0,:aaz高等数学例4求曲面22222azyx与22yxz所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，采用球面坐标，由22222azyx,2ar22yxz,4,20,40,20:ar高等数学由三重积分的性质知dxdydzV,adrrddV202020sin44033)2(sin2da.)12(343a高等数学补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.奇偶性．高等数学例５　利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz高等数学解2)(zyx)(2222zxyzxyzyx例6计算dxdydzzyx2)(其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.其中yzxy是关于y的奇函数,且关于zox面对称,0)(dvyzxy,高等数学同理zx是关于x的奇函数,且关于yoz面对称,,0xzdv由对称性知dvydvx22,则dxdydzzyxI2)(,)2(22dxdydzzx高等数学在柱面坐标下：,2001,222,z,122yx投影区域xyD：2221222200(2cos)Iddzdz).89290(60高等数学9.已知由2222,2zxyzxy所围，计算3zdxdydz.解：3zdxdydz3zdddz22212300ddzdz122901[(2)]2d815重积分例题选解高等数学11.已知由22221,3()zxyzxy所围，计算222z