多旋翼飞行器设计与控制 第五讲 坐标系和姿态表示

多旋翼飞行器设计与控制第五讲坐标系和姿态表示全权副教授[e-mail]自动化科学与电气工程学院北京航空航天大学2016年4月7日北航主南4012016/4/72前言东方智慧：中国古人很早就开始采用坐标定位原理观测星象。浑天仪是浑象和浑仪的总称。浑象的构造是一个大圆球上刻画或镶嵌星宿、赤道、黄道、恒稳圈、恒显圈等，类似天球仪。浑仪是一观测仪器，内有窥管，亦称望管，用以测定昏、旦和夜半中星以及天体的赤道坐标，也能测定天体的黄道经度和地平坐标。浑仪由早期四游仪和赤道环组成。从汉代到北宋浑仪增加了黄道环、地平环、子午环、六合仪、白道环、内赤道环、赤经环等。北宋的沈括取消白道环、改变一些环的位置。元代郭守敬取消了黄道环，并把原有的浑仪分为两个独立的仪器：简仪和立运仪。——文字来源百度百科，图片来源于中国计量测试学会网站。2016/4/73欧拉角、旋转矩阵和四元数三种方式与机体角速度的关系？前言大纲1.坐标系2.姿态表示•欧拉角•旋转矩阵•四元数3.小结4.作业2016/4/741.坐标系2016/4/75右手定则如所上图示，右手的拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指所指示的方向即是z轴的正方向。进一步，如上图所示，要确定轴的正旋转方向，用右手的大拇指指向轴的正方向，弯曲手指。那么手指所指示的方向即是轴的正旋转方向。本章采用的坐标系和后面定义的角度正方向都是沿用右手定则。图右手定则下的坐标轴和旋转正方向1.坐标系2016/4/76惯性坐标系与机体坐标系定义eoexeyezbobxbybz图机体坐标系与地面坐标系的关系图•地球表面惯性坐标系用于研究多旋翼飞行器相对于地面的运动状态，确定机体的空间位置坐标。它忽略地球曲率，即将地球表面假设成一张平面。在地面上选一点作为多旋翼飞行器起飞位置。先让轴在水平面内指向某一方向，轴垂直于地面向下。然后，按右手定则确定轴。•机体坐标系，其原点取在多旋翼的重心上，坐标系与多旋翼固连。轴在多旋翼对称平面内指向机头（机头方向与多旋翼+字形或X字形相关）。轴在飞机对称平面内，垂直轴向下。然后，按右手定则确定轴。•右下标e表示Earth，下标b表示Bodyeoexezeybobxbzbxby1.坐标系2016/4/77惯性坐标系与机体坐标系定义eoexeyezbobxbybz图机体坐标系与地面坐标系的关系图1231000,1,0001eee定义如下三个单位向量在地球表面惯性坐标系中，沿着轴的单位向量可以表示为。在机体坐标系下，沿着轴的单位向量满足(注：左上标b表示向量在机体坐标系的表示)eee,,xyz123,,eeebbb,,xyzbbb112233,,bebebe在地球表面惯性坐标系中，沿着轴的单位向量表示为bbb,,xyzeee123,,bbb(注：左上标e表示向量在惯性坐标系的表示)2.姿态表示2016/4/79欧拉角图.飞机欧拉角示意图（1）欧拉角定义exeoeyezbobybzbx机体坐标系与地面惯性坐标系之间的夹角就是飞机的姿态角，又称欧拉角：•俯仰角𝜽：机体轴与地平面（水平面）之间的夹角，飞机抬头为正。•偏航角（方位角）𝝍：机体轴在水平面上的投影与地轴之间的夹角，以机头右偏为正。•滚转角（倾斜角）𝝓：飞机对称面绕机体轴转过的角度，右滚为正。2.姿态表示2016/4/710欧拉角图.欧拉角表示示意图eoexeyezbobxbybzbobzobxoebxxo左图表示正的俯仰角𝜽；左图表示负的滚转角𝝓；左图表示正的偏航角𝝍。（1）欧拉角定义俯仰角滚转角偏航角2.姿态表示2016/4/711欧拉角图.偏航角、俯仰角与滚转角分步转动示意图3n2k1e2e33ke1k2noo3bo11nb2b（a）（b）（c）1n3k1k22kn3n可以通过转换绕轴分别旋转欧拉角将地球表面惯性坐标系转动到机体坐标系321,,ekn,,（1）欧拉角定义2.姿态表示2016/4/715万向节死锁(GimbalLock)奇异问题如何发生的Euler(gimballock)Explained.=rsKy-4dbA042.姿态表示2016/4/716旋转矩阵（1）旋转矩阵定义定义旋转矩阵为旋转矩阵中的向量满足eeeeb123Rbbbeebeeebeeebe1b1b12b2b23b3b3,,bRbRebRbRebRbRe右上标表示从机体坐标系b旋转到惯性坐标系e的旋转矩阵左上标b表示向量在机体坐标系的表示左上标e表示向量在惯性坐标系的表示eeTeTebbbb3RRRRIebdet1R注：det()表示求矩阵的行列式2.姿态表示2016/4/722四元数（1）四元数定义图.爱尔兰都柏林布鲁穆桥（现称为金雀花桥BroomBridge）上的四元数石碑,图片来自石碑上写着“Hereashewalkedbyonthe16thofOctober1843SirWilliamRowanHamiltoninaflashofgeniusdiscoveredthefundamentalformulaforquaternionmultiplicationi2=j2=k2=ijk=−1&cutitonastoneofthisbridge.”四元数一般用向量的形式表示为0vqqq其中为四元数的标量部分，为四元数的向量部分。对于一个实数，其四元数表示形式为，对于一个纯向量，其四元数表示形式0qTv123qqqqs31sq0v0qv2.姿态表示2016/4/723四元数（2）四元数的基本运算法则0000vvvvpqpqpqpqpqT0000vvvvvv0v0vpqpqpqqppqpqpqqp•四元数加、减法•四元数乘法一些运算性质(注：r,m是四元数，s为标量，u,v为列向量)qrmqrqmqrmqrmqrm0vsqsssqqqT00uvuvqquvuv2.姿态表示2016/4/724四元数（2）四元数的基本运算法则•四元数共轭0vqqq0vqqqqqpqqppqpq一些运算性质•四元数范数22T0vv22220123qqqqqqqqqqqqpqpqqq一些运算性质2.姿态表示2016/4/725四元数（2）四元数的基本运算法则•四元数的逆1311qq0由的定义可知，四元数的逆可以表示为q1qqq•单位四元数1311100pqqq0vv当四元数的范数时，四元数称为单位四元数。单位四元数有如下性质：当四元数和向量满足时，有q1qqp,qv1vpq2.姿态表示2016/4/730四元数（4）四元数与旋转矩阵转换假定地球表面惯性坐标系到机体坐标系的旋转四元数为，则有（坐标系旋转）Tbe0123qqqqq1eebbeb1bbeeb000qqrrqqr0123012310321032eb230123013210321000qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqrrebrCr右上标表示从惯性坐标系e旋转到机体坐标系b的单位四元数2222012312031302b2222e12030123230122221302230101232()2()()2()2()2()2()qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqCq4.作业2016/4/7361.将地球表面惯性坐标系转动到机体坐标系的欧拉角顺序改变为（Y-Z-X），那么旋转矩阵的表示形式是什么？进一步什么时候会发生万向节死锁?2.在旋转矩阵与欧拉角转换和四元数与欧拉角转换的过程中，均出现了奇异情况。另外，arctan，arcsin的值域范围为，但是在大机动情况下，因此需要对求解的结果进行角度扩展。请提供一个可以解决奇异问题和角度扩展问题的方法。（提示：奇异情况下，人为设定）2,2,0选做一题2016/4/738谢谢！