相似矩阵

第二节相似矩阵相似矩阵与相似变换的概念相似矩阵与相似变换的性质利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念.,.,,,,,111的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA1.等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似与AA.,相似与则相似与若ABBA.,,相似与则相似与相似与若CACBBA反身性)1()2(对称性传递性)3(().,,,.:::若则为常数为正整数4mmABkAkBABkm.,.=:若则2ABAB.,.--::若且可逆，则也可逆，且113ABABAB证明相似与BAPEPAPPEB11PEAP1PEAP1.EABAPPP1,使得可逆阵.,,1的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理BABABAn推论若阶方阵A与对角阵nn21.,,,,21个特征值的即是则相似nAn.,,,1对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对AAPPPAn证明,,1为对角阵使假设存在可逆阵APPP.,,,21npppPP用其列向量表示为把三、利用相似变换将方阵对角化.)(2个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理nAAAnnnnppppppA212121,,,,,,即.,,,2211nnpppnnApApAppppA,,,,,,2121.,,2,1nipApiii于是有nppp,,,211,,1PAPAPP得由.,的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见iiiApPA.,,,,21线性无关所以可逆又由于npppP命题得证..,,,,PAPPnnnA使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论nAAn如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．AAnnA总结矩阵对角化的条件：①n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量②n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A的每一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数③若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则A可对角化补充：实对称矩阵可对角化例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？242422221)1(A201335212)2(A解EA由)1(7220242422221.7,2321得得方程组代入将,02121EA04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系.110,10221,0,73xEA由对求得基础解系2,2,13T,0211210102由于.,,321线性无关所以.,3化可对角因而个线性无关的特征向量有即AA,同理201335212EA31201335212)2(A.1321的特征值为所以A,01xEA代入把解之得基础解系,)1,1,1(T故不能化为对角矩阵.A矩阵对角化的方法：163053064A设A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例2.1为对角阵使APP解163053064EA212.2,1321的全部特征值为所以A得方程组代入将0121xEA063063063212121xxxxxx解之得基础解系,0121.1002解系得方程组的基础代入将,023xEA.1,1,13T.,,321线性无关由于110101102,,321P令.2000100011APP则有所以可对角化.A注意,,,213P若令111012100.1APP则有000000211即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．P课堂练习：习题册P37第1题、第2题习题册P38第3题