欧几里得空间

第九章欧几里得空间在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算.如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映.但是向量的度量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊的地位，因此有必要引入度量的概念.解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本概念.主要内容第一节定义与基本性质内积长度度量矩阵夹角举例一、内积1.定义定义1设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(,)，它具有以下性质：1)(,)=(,)；2)(k,)=k(,)；3)(+,)=(,)+(,)；4)(,)0，当且仅当=0时(,)=0.这里,,是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间.在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的.几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间.2.欧几里得空间举例下面再看两个例子.例1在线性空间Rn中，对于向量=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),定义内积(,)=a1b1+a2b2+…+anbn.(1)显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，Rn就成为一个欧几里得空间.以后仍用Rn来表示这个欧几里得空间.在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角坐标系中的表达式.例2在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中，对于函数f(x),g(x)定义内积)2(.d)()(),(baxxgxfgf由定积分的性质不难证明，对于内积(2)，C(a,b)构成一欧几里得空间.同样地，线性空间R[x],R[x]n对于内积(2)也构成欧几得里空间.3.欧几里得空间的性质下面来看欧几里得空间的一些基本性质.首先，定义中条件1)1)((,,))=((,,))；；2)2)((kk,,))=kk((,,))；；3)3)((++,,))=((,,)+()+(,,))；；4)4)((,,))00，，当且仅当当且仅当=0=0时时((,,))=0.=0.内积定义中的四个性质：内积定义中的四个性质：表明内积是对称的.因此，与1)1)((,,))=((,,))；；2)2)((kk,,))=kk((,,))；；3)3)((++,,))=((,,)+()+(,,))；；4)4)((,,))00，，当且仅当当且仅当=0=0时时((,,))=0.=0.内积定义中的四个性质：内积定义中的四个性质：1)1)((,,))=((,,))；；2)2)((kk,,))=kk((,,))；；3)3)((++,,))=((,,)+()+(,,))；；4)4)((,,))00，，当且仅当当且仅当=0=0时时((,,))=0.=0.内积定义中的四个性质：内积定义中的四个性质：相当地就有2)(,k)=(k,)=k(,)=k(,)；3)(,+)=(+,)=(,)+(,)=(,)+(,).由条件1)1)((,,))=((,,))；；2)2)((kk,,))=kk((,,))；；3)3)((++,,))=((,,)+()+(,,))；；4)4)((,,))00，，当且仅当当且仅当=0=0时时((,,))=0.=0.内积定义中的四个性质：内积定义中的四个性质：有(,)0.因此，在任一欧式空间中，对于任意的向量，),(是有意义的.在几何空间中，向量的长度为.),(类似地，我们在一般的欧几里得空间中引进向量长度的概念.二、长度1.定义定义2非负实数(,)称为向量的长度，记为||.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：2.性质性质1设kR,V,则有|k|=|k|||.(3)证明),(||kkk),(2k.||||k性质2柯西-布涅柯夫斯基不等式设,是任意两个向量，则|(,)|||||，(4)当且仅当,线性相关时，等号才成立.证明当=0时，(4)式显然成立.以下设0.令t是一个实变数，作向量=+t.由1)1)((,,)=)=((,,))；；2)2)((kk,,)=)=kk((,,))；；3)3)((++,,)=)=((,,)+()+(,,))；；4)4)((,,))00，，当且仅当当且仅当=0=0时时((,,))=0.=0.内积定义中的四个性质：内积定义中的四个性质：可知，不论t取何值，一定有(,)=(+t,+t)0.即(,)+2(,)t+(,)t20.(5)取.),(),(t代入(5)式，得,0),(),(),(2即(,)2(,)(,).两边开方便得|(,)|||||.|(,)|||||.当,线性相关时，等号显然成立.反过来，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者=0或者,0),(),(也就是说,线性相关.证毕3.两个著名的不等式对于例例11在线性空间Rn中，对于向量=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),定义内积(,)=a1b1+a2b2+…+anbn.(1)显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，Rn就成为一个欧几里得空间.以后仍用Rn来表示这个欧几里得空间.中的欧几里得空间Rn，|(|(,,)|)|||||||||(4)(4)式就是.||22221222212211nnnnbbbaaabababa对于例例22在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中，对于函数f(x),g(x)定义内积)2(.)()(),(badxxgxfgf由定积分的性质不难证明，对于内积(2)，C(a,b)构成一欧几里得空间.中的欧几里得空间C(a,b)，|(|(,,)|)|||||||||(4)(4)式就是.d)(d)(d)()(212122bababaxxgxxfxxgxf4.单位向量长度为1的向量称为单位向量.如果0，则由|k|=|k|||知，向量||1是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.三、夹角1.夹角的定义定义3非零向量,的夹角,规定为(,),arccos,0,π.||||2.三角不等式根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，我们有三角形不等式|+|||+||.(6)因为|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)||2+2||||+||2=(||+||)2.所以|+|||+||.3.正交定义4如果向量,的内积为零，即(,)=0，那么,称为正交或互相垂直，记为.显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交的说法是一致的.两个非零向量正交的充分必要条件是它们的夹角为.2π由定义立即看出，只有零向量才与自已正交.在欧几里得空间中同样有勾股定理，即当,正交时，|+|2=||2+||2.事实上，|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)=||2+||2.不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如果1,2,…,m两两正交，那么|1+2+…+m|2=|1|2+|2|2+…+|m|2.在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任何限制.从现在开始，我们假定空间是有限维的.四、度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基1,2,…,n,对于V中任意两个向量=x11+x22+…+xnn,=y11+y22+…+ynn,由内积的性质得(,)=(x11+x22+…+xnn,y11+y22+…+ynn)ninjjijiyx11.),(令aij=(i,j)(i,j=1,2,…,n),(7)显然aij=aji.于是)8(.),(11ninjjiijyxa利用矩阵，(,)还可以写成(,)=XTAY，(9)(,)=(x11+x22+…+xnn,y11+y22+…+ynn)ninjjijiyx11.),((,)=XTAY，(9)其中nnyyyyxxxX2121,分别是,的坐标，A=(aij)nn称为基1,2,…,n的度量矩阵.而矩阵，其中aij=(i,j)上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按(8)或(9)来计算，因而度量矩阵完全确定内积.设1,2,…,n是空间V的另外一组基，而由1,2,…,n到1,2,…,n的过渡矩阵为C,即(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C.于是不难算出，基1,2,…,n的度量矩阵B=(bij)=(i,j)=CTAC.(10)这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件1)1)((,,))=((,,))；；2)2)((kk,,))=kk((,,))；；3)3)((++,,))=((,,)+()+(,,))；；4)4)((,,))00，，当且仅当当且仅当=0=0时时((,,))=0.=0.内积定义中的四个性质：内积定义中的四个性质：对非零向量，即,000X有(,)=XTAX0.因此，度量矩阵是正定的.反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基1,2,…,n.可以规定内积，使它成为欧几里得空间，并且基1,2,…,n的度量矩阵为A.欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.欧几里得空间以下简称为欧氏空间.五、举例例1在欧氏空间Rn中计算下列向量的内积，并求它们之间的夹角..)1,0,1,1,3(,)1,2,1,1,1()4(;)2,2,2,2(,)1,1,1,3()3(;)2,2,1,3(,)61,31,1,21()2(;)3,4,2,1(,)1,1,1,1()1(例2在4维欧氏空间中，设基)1,0,0,1(,)1,1,1,1(,)0,1,1,1(,)1,1,1,1(4321的度量矩阵为.2100121001210012A(1)求基)1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321的度量矩阵；(2)求向量)0,1,1,0(,)1,1,1,1(21的内积.(1)(1)解解由已知，两组基的关系为(1,2,3,4)=(1,2,3,4)C1,其中.10011111011111111C于是从基1,2,3,4到基1,2,3,4的过渡矩阵为C=C1