1.2应用举例(正弦定理、余弦定理)

良乡中学数学组任宝泉良乡中学数学组制作：任宝泉普通高中课程标准数学5(必修)第一章解三角形2020年1月29日书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！1.2应用举例（约2课时）（正弦定理、余弦定理）勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在!!!什么也不问的人什么也学不到!!!怀天下，求真知，学做人普通高中课程标准[e-mail]1.正弦定理：abcsinAsinBsinC可以解决的有关解三角形问题：（1）已知两角和任一边；（2）已知两边和其中一边的对角。a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC可以解决的有关解三角形的问题：（1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。2.余弦定理：一、复习引入普通高中课程标准[e-mail]解三角形应用题中的几个角的概念2、方向角的概念：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图1.仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：二、提出问题普通高中课程标准[e-mail]二、提出问题怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的举例？测量学AB'普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成例1:北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，若给你测角仪卷尺，如何通过测量，求得角楼的高度？（分组讨论）怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？普通高中课程标准[e-mail]分析：如图，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进行测量。CC'C'ABB'C'AAB'C'AB'设为测量仪器的高，过点的水平面与相交于点，这时由测点，可测得点的仰角的大小。在中，三条边的长度都无法测出，因而无法求得。ABB'CC'三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]如果移动测量仪到（测量仪高度不变），想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？事实上，如图所示，在点B’，C’，D’构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得B’C’的长。这样，我们就可以根据正弦定理求出边B’C’的长，从而求出AB’的长。使得问题得到解决。CC'DD'ABB'CC'DD'三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]某校用自制的仪器，测得α=20°，β=99°，γ=45°，CD=60m，测量仪器的高是1.5m，试求出故宫角楼的高度。（精确到0.1米）解：在△B’C’D’中，由正弦定理得，因此''sin''sin(180)CDBC60sin4572.17sin36ABB'CC'DD'三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]在△AB’C’中，AB’=B’C’tanα=72.17×tan20°≈26.3m，因此，AB=AB’+BB’=26.3+1.5=27.8(m).答：故宫角楼的高约为27.8m.三、概念形成ABB'CC'普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成2.怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的距离？例2.设A、B是两个海岛，设计一种测量两点间的距离的方法。AB普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成分析：如图，A、B分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施，与问题1类似，如果只选择一个测点C，那么在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。C普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成C因此需要再选择一个测点D。构造一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解决△ACD和△BCD。D普通高中课程标准[e-mail]在△BCD中，由正弦定理，得sinsin(180)BCa即sinsin()aBC在△ACD中，∠A=180°－(α+β+θ)，由正弦定理，得sinsin(180)aACsinsin()aABCD三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]在△ABC中，由余弦定理，得AB2=BC2+AC2－2BC·ACcosα，把BC、AC代入上式即可求出AB。ABCD三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]问题3.如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA、OB都是细杆，只受沿杆方向的力。试求杆OA、OB所受的力。分析：点O处受到三个力的作用：灯线向下的拉力（记为F），O到A方向的拉力（记为F1），从B到O方向的支持力（记为F2），这三个力是平衡的。即F+F1+F2=0，三、概念形成7050O普通高中课程标准[e-mail]解：如图作，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，作□OCED，则，2OCFOEF1ODCEF由题设条件可知，||10,50,70OEOCEOEC在△OCE中，由正弦定理得1||||sin50sin60FF2||||sin50sin70FF7050OBA三、概念形成CDEFF1F2普通高中课程标准[e-mail]因此，110sin60||11.3sin50F210sin70||12.3sin50F答：灯杆AO所受的拉力为11.3N，灯杆OB所受的压力为12.3N。7050OBACDEFF1F2三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]问题4.如图，在海滨某城市附近海面有一台风，据检测，台风中心位于城市A的南偏东30°方向，据城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km，几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到0.1h)？三、概念形成60°45°APQ普通高中课程标准[e-mail]解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵袭该城市，在△AQP中，依题意，得AQ=120km，AP=300km，PQ=20x，由正弦定理，得方程组300120(1)sinsin1520120(2)sinsin15QxA60°45°APQ604515P18015165AQQ三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]由(1)得300sin15sin0.6470120Q所以∠Q≈40.3°(不合题意舍去)，∠Q=139.7°因此∠A≈180°－15°－139.7°=25.3°，代入②得120sin25.320198.1sin15x所以198.19.9()20xh答：大约9.9小时后，该城市开始受到台风的侵袭。三、概念形成普通高中课程标准[e-mail]练习1.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？3解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，有BC=at，AC=at，3∠B=90°+30°=120°，五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]由sinsinBCACCABB得sinsinBCBCABAC3sin12012233atat因为0°∠CAB90°，所以∠CAB=30°。故∠DAC=60°－30°=30°，答：甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇。五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]练习2.如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处，某时刻，检测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s，五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km)。解：（1）依题意知PA－PB=1.5×8=12(km)，PC－PB=1.5×20=30(km)，因此PB=(x－12)(km)，PC=(18+x)(km)，在△PAB中，AB=20，五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]222cos2PAABPBPABPAAB22220(12)3322205xxxxx同理在△PAC中72cos3xPACx由于cos∠PAB=cos∠PAC，即3327253xxxx解得1327x(km)。五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]（2）作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB132332332717.7155xxx五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]练习3.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。45和60图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：111111111111,604515,:sinsinsin12sin120sinsin15BCDCBDCDBCBDCDDBCB在中由正弦定理可得18266112186328.42ABBC1128.41.529.9()ABABAAm答：烟囱的高为29.9m。五、课堂练习普通高中课程标准[e-mail]练习4.自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杠BC的长度（如图所示）。已知车箱的最大仰角为，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。60620'图中涉及到一个怎样的三角形？ABC在中，已知什么？求什么？想一想五、课堂练习普通高中课程标准L