胡广书数字信号处理第13章

第13章数字信号处理中有限字长影响的统计分析1量化误差的统计分析2量化误差通过LSI系统的统计分析3IIR系统系数量化对系统性能的影响4FIR系统系数量化对系统性能的影响5乘法舍入误差对系统性能影响的统计分析6DFT运算中舍入误差的统计分析数字系统中误差的来源：（1）模拟信号抽样时有限字长所产生的量化误差；（2）量化后的信号在离散系统中传递，必然产生量化误差的积累，将在输出端产生更大的误差。（3）滤波器系数量化所产生的量化误差必然影响滤波器的性能；（4）离散系统中加、减和乘法运算将产生舍入误差；（5）DFT是信号处理中最常用的运算，其中包含了大量的乘法运算，因此DFT中的舍入误差也是误差的一个重要来源。1.使用高精度（如14bit,16bit）的A/D转换器，以减轻信号量化时的误差及滤波器系数量化的误差；减轻误差的措施：2.用长字长的寄存器、加法器、乘法器来完成算术运算及逻辑运算，以减少舍入误差；3.通过对误差的统计分析，采取更合理的系统结构，以减少量化误差和舍入误差的积累效应。13.1量化误差的统计分析A/D：表示为正数。00()xn()xn如果我们能有无穷多位的器件，则可实现的精确表示，即：实际上：A/D的字长位，所以量化步长：若A/D的满刻度量程为，则量化步长如何用有限位来表示一个二进制数？有截短和舍入两种方式。所谓截短，即是第位以后的二进制数全部不要；所谓舍入，即是若第位为1，则在第位加1，否则，第位以后的二进制数全部不要。1.截短：截短误差舍入误差2.舍入：0q()Tpe1/qTe02q()RpeRe2q1q对舍入误差如果：正的最大如果：负的最大对固定的服从均匀分布：,Rne为便于分析量化误差的行为，通常假定：为一固定值时：为随机变量；变成随机序列（信号）方差的导出：量化误差的数学模型：理想的A/D＋将上述量化误差模型用于信号抽样的统计分析，可以大致决定量化误差的行为，并帮助确定所用A/D的字长。这样：信号和噪声同功率。如果选b＝10；则－6b－10.8=－70dB;即信号量化的信噪比为70dB。例d=[1.0000-3.81842.4560-1.93740.8806-0.2130]十进制数序列aeq=[1.0000-3.75002.3750-1.87500.8750-.1875]5bit截尾量化e=[00.0684-0.08100.0624-0.00560.0255]SNR＝32.1901dB误差序列aeq=[1.0000-3.87502.5000-1.93750.8750-0.2188]SNR＝32.1901dB。5bit舍入量化在数字音频应用中，设A/D的动态范围在0～10V，若希望量化误差的均方根值小于,试决定所要的字长b。50Vrms1250Veq10V2bq16b解出：由：15.82b取例这一结论指出，当采用16bit、满量程为10V的A/D时，由量化误差引起的均方根值小于。由前面的讨论，量化误差的信噪比等于16×6＝96dB。人的耳朵对声音感觉的动态范围大约是100dB。因此，对高质量的音频应用，如VCD，A/D的字长至少要16bit。50V13.2量化误差通过系统后的统计分析ˆ()()()[()()]()qynxnhnxnenhn()()()qxnxnen()()()()()()xnhnenhnynvn0()()()kvnhkenk():vn输入信号量化误差在输出端的反映00()()()()veknnEhkenkhn量化误差在输出端的统计分析：0()()2vnqnhn()2eqn0e如果0v则所以，如果采用截尾量化，在系统的输出端也将产生一个直流分量，其大小和系统的单位抽样响应有关。均值：方差：220000()()()()()()()()()vkmkmEvnEhkenkhmenmhkhmEenkenm2220()12vnqhn输入量化噪声在输出端的方差222,20()vvnnehn归一化输出方差01()()()1MrrrNkkkbzBzHzAzaz13.3IIR系统系数量化对系统性能的影响01ˆˆ()ˆ()ˆ()ˆ1MrrrNkkkbzBzHzAzazˆˆ,kkkrrraaabbb111()1(1)NNkkikiAzazpz重点研究系数量化对极点的影响：ˆ()Azˆ()Azˆ,1,,iiipppiN1,1,2,,NiikkkppaiNa()111,2,,()NkNiikNkillilpaiNppp若系统有两个极点靠得很近，那么将产生一个很大的，严重时会使极点移到甚至移出单位圆，从而使系统变成不稳定ip对下面的系统，字长分别取4bit和5bit，观察其系数量化对系统性能的影响。例-1-2-3-4-5-1-2-3-4-50.0079+0.0397z+0.0794z+0.0794z+0.0397z+0.0079z()1.0000-2.2188z+3.0019z-2.4511z+1.2330z-0.3109zHz[0.00790.03970.07940.07940.03970.0079]=[1.0000-2.21883.0019-2.45111.2330-0.3109]ba0.4569j1.02390.42340.3314j0.59994bit量化后的极点：0.2896j0.87110.65240.4936j0.5675原来的极点：0.3728j0.9121,0.5246,0.4274j0.60795bit量化后，系统是稳定的：00.10.20.30.40.5-150-100-500-101-1-0.500.51RealPartImaginaryPart200.10.20.30.40.5-150-100-500/Gain,dB-101-1-0.500.51RealPartImaginaryParttobecontinued