2013-2014学年高一数学同步课件：指数函数的图象及性质(新人教A版必修1)

2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质•【课标要求】•1．理解指数函数的概念和意义．•2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．•3．初步掌握指数函数的有关性质．•【核心扫描】•1．指数函数的概念及有关性质．(重点)•2．指数函数的图象．(难点)•3．指数函数的值域及图象过特殊点．(易错点)•1．指数函数的定义•函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.•温馨提示：指数函数解析式的特征：ax的系数是1，a为常量，x为自变量，并且规定底数a满足条件a0且a≠1.y＝ax(a0且a≠1)R•2．指数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域，值域()图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x0时，；当x0时，.当x0时，；当x0时，.在R上是.在R上是.R0，＋∞y10y10y1y1增函数减函数互动探究探究点1指数函数定义中为什么规定a0且a≠1?提示(1)如果a＝0，当x0时，ax＝0；当x≤0，ax无意义；(2)如果a0，当x＝12，14等时，ax无意义；(3)如果a＝1，则ax＝1，无研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a0且a≠1.探究点2观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝12x，y＝13x，y＝14x的图象如图所示，能得到什么规律？提示(1)当x0时，底数大则图高(在第一象限内，图象从下到上相应的底数由小变大)；当x0时，底数大则图象低．(2)底互为倒数时，图象关于y轴对称，即y＝ax与y＝1ax图象关于y轴对称．类型一指数函数的概念【例1】给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是()．A．0B．1C．2D．3[思路探索]根据指数函数的定义判断．•解析①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－20，不是指数函数．•答案B•[规律方法]1.指数函数的解析式必须具有三个特征：•(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.•2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．【活学活用1】若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．解析y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：4－3a0，4－3a≠1，解得a43且a≠1.故a的取值范围为{a|a43且a≠1}．答案{a|a43且a≠1}•类型二指数函数的图象•【例2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()．A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc•[思路探索]根据指数函数的底数大小与图象的关系判断．•解析法一在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．•由指数函数图象的升降，知cd1，ba1.•∴ba1dc.•法二作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知ba1dc.故选B.答案B•[规律方法]1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．•2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．•【活学活用2】(1)函数y＝2－|x|的大致图象是()．•(2)函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象恒过定点________．解析(1)y＝2－|x|＝2－xx≥0，2xx0.且函数y＝2－|x|是偶函数，∴函数的图象大致是选项C.(2)因为函数y＝ax(a0，且a≠1)过定点(0,1)，函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，所以函数的图象过定点(3,4)．答案(1)C(2)(3,4)•类型三指数型函数的定义域、值域•【例3】求下列函数的定义域与值域：•[思路探索]先求定义域，确定指数的取值范围，利用单调性求值．解(1)由x－4≠0，得x≠4，∴定义域为{x|x∈R且x≠4}．∵1x－4≠0，知≠1，∴函数y＝的值域是{y|y0，且y≠1}．(2)由x－2≥0，得x≥2，∴定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，x－2≥0.∴y＝的值域为{y|0y≤1}．•[规律方法]1.求含有指数型的函数定义域时，要注意考虑偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0等限制条件．•2．求含有指数式的复合函数的值域时，要结合指数函数的单调性和定义域来考虑，不要遗漏了指数函数的值域大于0.(3)定义域为R.∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴≤2，即y≤2.故函数的值域为{y|0＜y≤2}．【活学活用3】求下列函数的定义域与值域：(1)y＝；(2)y＝1－3x.解(1)由x－2≥0，得x≥2.∴定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，x－2≥0.又31，∴y＝的值域为{y|y≥1}．(2)要使函数有意义，则1－3x≥0，即3x≤1.又t＝3x在R上是增函数，所以x≤0，因此y＝1－3x的定义域是{x|x≤0}．由x≤0，知0≤1－3x1，所以函数y＝1－3x的值域为{y|0≤y＜1}．易错辨析指数函数概念理解不透致误【示例】函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，求实数a.[错解]∵函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，∴a2－4a＋4＝1，∴a＝1或a＝3.[错因分析]指数函数y＝ax(a0，且a≠1)中，ax的系数为1，并且底数a要满足a0，且a≠1.[正解]∵函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，∴由指数函数的定义得a2－4a＋4＝1，a0且a≠1，∴a＝1或a＝3.a0且a≠1，∴a＝3.[防范措施]切记指数函数要求形如：f(x)＝ax(a0且a≠1)，指数式前面系数为1，另外a0且a≠1，自变量是指数，这三点缺一不可．课堂达标1．下列函数中一定是指数函数的是()．A．y＝5x＋1B．y＝x4C．y＝3－xD．y＝－2·3x解析只有y＝3－x＝(13)x符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合y＝ax(a0且a≠1)的形式．答案C2．(2013·平遥高一检测)函数y＝3x与y＝3－x的图象关于下列哪条直线对称()．A．x轴B．y轴C．直线y＝xD．直线y＝－x解析y＝3－x即y＝(13)x，分别作出两个函数图象可知，y＝3x与y＝(13)x的图象关于y轴对称．答案B•3．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．•解析指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．•答案(5,2)4．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.解析∵f(x)的图象过(0，－2)，(2,0)，且a1，∴－2＝a0＋b，0＝a2＋b，∴b＝－3，a＝3，∴f(x)＝(3)x－3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3.答案33－3•5．求下列函数的定义域和值域：•(1)y＝；(2)y＝5－x－1.解(1)要使函数y＝有意义，只需1－x≥0，即x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1}．设y＝3u，u＝1－x，则u≥0，由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立，所以函数的定义域为R.因为5－x0，所以5－x－1－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)•课堂小结•1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.•2．当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．