第四章 卡方检验

χ2检验(Chi-squaretest)是现代统计学的创始人之一，英国人K.Pearson（1857-1936）于1900年提出的一种具有广泛用途的统计方法，可用于拟合优度检验、两个或多个率或构成比间的比较等等2第四章检验第一节分布2(1)自由度为1的2分布若ZN~(,),01则Z2的分布称为自由度为1的2分布.(chi-squaredistribution),记为()12或21().图形:从纵轴某个点开始单调下降,先凸后凹.02468100.00.10.20.30,)()(22/)12/(222xexKfdf(2)样本方差的分布公式条件：X是服从N22222)1(sndfsxdf),(2总体方差1-的置信区间221222总体方差1的置信区间自由度为n-1的2第二节拟合优度检验一、拟合优度检验（goodnessoffittest)是用来检验实际观测数与依照某种假设或模型计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该假设或模型是否与观测数相匹配。该检验包括两种情况：（1）检验观测数与理论数之间的一致性。（2）通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断事件之间的独立性。χ2检验的原理：•应用理论推算值(E)与实际观测值(O)之间的偏离程度来决定其χ2值的大小。在计算理论推算值(E)与实际观测值(O)之间的符合程度时,一般采用∑(E-O)2。对于k组资料采用:kiiiiEEO122)(χ2检验的步骤：(1)提出无效假设H0:即理论值=观测值;同时提出备择假设HA:理论值≠观测值.(2)确定显著水平α;一般为0.05或0.01(3)计算样本的χ2;由理论值Ei和观测值Oi代入公式进行计算.χ2检验的步骤：•(4)进行统计推断.由于df=k-1-a,从附表4中查出值.如果实得,即表明P＞α,应接受H0,否定HＡ;如果实得,即表明P＜α,应否定H0,接受HＡ.表明在α显著标准下理论值与实际值差异是显著的.•注：a为用样本数据估计总体参数的个数。22222计算χ2时应注意的问题:(1)任何一组的理论次数Ei必须大于5.(2)在自由度df=1时需进行连续性矫正,公式为:kiiiicEEO122)5.0|(|适合性检验比较观测值与理论值是否符合的假设检验叫适合性检验.如遗传学中常用.（1）总体参数已知（2）总体参数未知•例:有一鲤鱼遗传试验,以红色和青灰色杂交,其F2代获得不同分离尾数,问观测值是否符合孟德尔3:1遗传定律.•本例为判断典型的两组数据的适应性检验体色青灰色红色总数F2观测尾数1503991602•(1)H0:鲤鱼体色分离符合3:1,对HA:不符.•(2)确定显著水平α=0.05•(3)计算χ2:由于理论资料k=2,df=2-1=1,需要进行连续性矫正.•假设H0正确时,青灰色E1和红色E2理论数:•E1=1602×3/4=1201.5•E2=1602×1/4=400.5将数据代入公式得:63.30122.22641.755.400)5.0|5.40099(|5.1201)5.0|5.12011503(|)5.0|(|22122kiiiicEEO(4)查χ2值表,当df=1时,.故应应否定H0,接受HＡ.即认为鲤鱼体色F2分离不符合3:1比率.独立性检验•是研究两个或两个以上因子彼此之间独立的还是相互影响的一类统计方法.可以进行χ2检验.•如吸烟与疾病的关系等.一、2×2列表的独立性性检验•设A,B是一个随机试验中的两个事件,其中A可能出现r1、r2个结果,B可能出现c1、c2个结果,两因子相互作用形成4格数,分别以O11、O12、O21、O22表示,即为2×2列表:列行c1c2总合r1r2O11O21O12O22R1=O11+O12R2=O21+O22总合c1=O11+O21c2=O12+O22T2×2列表的χ2检验步骤:•(1)提出无效假设H0:事件A和B无关,对HA:事件A和B有关;•(2)确定显著水平α;•(3)用H0推算出理论数,计算χ2值;•(4)确定自由度,df=(r-1)(c-1)或(行-1)(列-1),进行判断.•若计算的,则P＜α,表明实际观测与理论值不一致,应否定H0,接受HＡ;若,则P＞α,表明实际观测与理论值一致,应接受H0,否定HＡ.2222•例:某猪场采用一次配和两次配,其受胎结果如图,试检验差异性.行列受胎未受胎总合Tr受胎率单次配两次配110(130.61)116(95.39)68(47.39)14(34.61)17813061%89%总合Tc22682308*括号为E值•(1)H0:两种方法与受胎率无关,对HA:与受胎率有关;•(2)确定显著水平α=0.01;•(3)计算χ2值;先计算列联表中各项理论数(括号内):E11=R1C1/T=178×226/308=130.61E12=R1C2/T=178×82/308=47.39E21=R2C1/T=130×226/308=95.39E22=R2C2/T=130×82/308=34.61df=(2-1)(2-1)=1,故所计算的χ2需要进行连续性矫正,于是有:555.27685.11534.8240.4096.361.34)5.0|61.3414(|39.47)5.0|39.4768(|39.95)5.0|39.95116(|61.130)5.0|61.130110(|)5.0|(|222222EEOc•(4)推断,查χ2表当df=1时,,而,,则P＜0.01,拒绝H0接受HＡ;说明两种配种方法差异极显著.两次配大大提高了受胎率.•2×2列联表也可用下列公式:63.6201.0555.272c21212211222112)2/|(|CCRRTTOOOOc22