第9章 矩阵位移法

第9章矩阵位移法2为什么要学习矩阵位移法?现代的建筑结构日益复杂，杆件数目庞大，传统的以手算为基础的力法和位移法不可能有效解决大型复杂结构的受力分析问题，因此需要借助于计算机来完成电算工作，也即需要通过结构分析程序来进行结构受力分析。当今众多著名的结构分析程序都是基于有限元思想开发的，而矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元方法。软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件对于杆件繁多的复杂杆系结构，需要借助于现代结构分析程序完成结构计算，其基本理论就是基于矩阵位移法的思想矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。矩阵位移法的基本思路矩阵位移法的基本步骤是（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程9.1引言9.2单元分析任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程单元分析：对杆件轴线上无直接荷载作用、仅在端部受力的杆件进行力学分析，找出两端所有杆端力和所有杆端位移之间的线性变换关系，并以矩阵形式表达出来。这种物理性质的方程，通称单元刚度方程，而其变换矩阵则成为单元刚度矩阵。9.2.1轴力杆单元9.2单元分析N11N22EAEAFullFuEAEAll{}[]{}eeeFkN112N212()()EAFuulEAFuul虎克定律：矩阵表达引入TN1N2{}[]eFFFT12{}[]euu单元刚度方程11[]11eEAkl轴力杆件的单元刚度矩阵轴力杆单元主要用于平面桁架的矩阵分析9.2.2平面弯曲杆件单元9.2单元分析基于转角位移方程可建立杆端力与杆端位移的关系：1121221212Q1Q212122266426624661212iiMiivvlliiMiivvlliiiiFFvvllll22Q1111Q22222212612666421261266624iiiillllFviiiiMllFviiiillllMiiiill矩阵表达{}[]{}eeeFk9.2.2平面弯曲杆件单元9.2单元分析22221261266642[]1261266624eiiiilllliiiillkiiiilllliiiill只与杆件本身性质有关,与外荷载无关单元刚度矩阵的性质单元刚度系数的物理意义kij代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。根据反力互等定理，单元刚度矩阵[k]e恒为对称矩阵用直接展开方法不难从数学上证明，单元刚度矩阵[k]e的行列式为0，因此[k]e是奇异矩阵，不存在逆矩阵。即已知杆端位移向量可以求得对应的杆端力向量，但如果给定力向量，则不能求出杆端位移向量的唯一解。这是因为，无支承约束的自由杆件，除去弹性变形外，还存在刚体位移，后者单凭静力平衡条件是无法确定的。9.2.3一般平面杆件单元9.2单元分析由小变形线弹性理论，忽略轴向、弯曲受力之间的耦联关系，其刚度方程可由轴力单元与平面弯曲单元组装而成：11[]11eEAkl22221261266642[]1261266624eiiiilllliiiillkiiiilllliiiillTN1Q11N2Q22{}[]eFFFMFFMT111222{}[]euvuv杆端力向量与杆端位移向量2222000012612600660402[]000012612600660204eEAEAlliiiilllliiiillkEAEAlliiiilllliiiill{}[]{}eeeFk9.2.3一般平面杆件单元9.2单元分析刚度矩阵的分块表达EAl6EIl26EIl2EAl12EIl312EIl34EIl2EIlek(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EIl206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2EAl-12EIl312EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl2011u11v1121u21v21{}[]{}eeeFk通过单元刚度方程可由单元杆端位移求单元杆端力。111112212222[][][][]eeeeeeeeFkkkkF11200126[]0604eeEAliiklliil22200126[]0604eeEAliiklliilT1221200126[][]0604eeeEAliikklliil9.3整体分析在单元分析基础上，根据变形协调和静力平衡条件对结构进行集零归整，形成结构的整体刚度矩阵，确立联系全体结点荷载和结点位移之间的线性变换关系。图示一两跨连续梁，各跨的抗弯刚度系数均为已知常量，结点荷载是已知的集中力矩，结点编码和单元编码如图中所示。(1)11(1)22(2)13(2)2100001100001MMMMMMM(1)11(1)22(2)13(2)2100010010001(1)(1)1111(1)(1)1122(2)(2)2211(2)(2)22224200240000420024iiMiiMiiMiiM由结点静力平衡条件可知：由结点变形连续条件可知：由简支单元刚度方程可知：P[]{}{}kF11112222420[]2442024iikiiiiiiTP123{}[]FMMMT123{}[]连续梁整体刚度矩阵已知的结点荷载向量未知的结点位移向量结构整体刚度方程9.4直接刚度法11112222420000[]240042000024iikiiiiii11112222420[]2442024iikiiiiii(1)11(1)22(2)12(2)23杆件的局部编码与结构的整体编码之间的匹配关系[k](1)=4i12i14i12i11221[k](2)=4i22i24i22i22332[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i1+4i2对号入座9.4直接刚度法直接刚度法形成整体刚度矩阵概念清晰，易于用计算机实现，可推广至各种类型的结构，均普遍适用。T12345{}[]TP12345{}[]FMMMMM1111222233334444422442[]2442244224iiiiiikiiiiiiiiii整体刚度矩阵[k]应为5×5带状稀疏矩阵：具有大量0元素，非0元素主要集中在主对角线及其两侧近邻。11155414444,2,3,4jjjjkikikiij主对角线元素次对角线元素1,,112,2,3,4,5jjjjjkkij结构的刚度矩阵具有“中心带状”和“稀疏性”的特征。9.5边界支承条件处理前述的“直接刚度法”是以每个结点都有未知位移为前提进行操作，这样装配过程单一，通用性强，便于计算机程序实现。对于某些特殊边界支承，如梁的固定端，结点位移往往是已知的，而结点荷载却是未知的。在这种情况下，需根据实际的边界支承条件，对直接刚度法形成的[k]进行针对性修改。111111222342024400010iiMiiiM111111222222334202442024iiMiiiiMiiM30没有改变整体刚度矩阵已经形成的排列次序和矩阵阶数9.6非结点荷载移置当结构跨间受到非结点荷载作用时，应先按静力等效原则将它移置到邻近的结点上，使之变成仅有结点荷载作用的结构，然后才能进行矩阵位移法分析。等效结点荷载{FP}原荷载固端约束力{FF}固端约束力{FF}显然{FP}=–{FF}………解决了计算等效结点荷载的问题计算单元的杆端内力时，应考虑两个组成部分：F,111F,224224jjjjjjjjjjiiMMiiMM结点位移对应的杆端力非结点荷载引起固端力9.6非结点荷载移置F,Q1F,2112112eeqlFMqlF,Q2F,2212112eeqlFMql2PF,3Q1F,21P2(2)eeblaFFlMabFl2PF,3Q2F,22P2(2)eealbFFlMabFlF,3Q1F,126(2)eeabmFlbabmMlF,3Q2F,226(2)eeabmFlabamMl三种常见荷载引起的固端力9.7连续梁的矩阵分析将原结构在“概念上”进行离散，明确被离散的结点数和杆元数，并作整体编码和局部编码。根据未知结点位移向量和已知结点荷载向量的阶数（n×1），贮备整体刚度矩阵的空留地址的阶数（n×n）。对各杆元作单元分析，形成单元刚度矩阵[k]e；再根据局部编码与整体编码的匹配关系，利用直接刚度法，将各单元的[k]e在n×n阶地址中对号入座，形成结构的整体刚度矩阵[k]。求出各杆元在跨间直接荷载作用下的固端力，确定结构的综合等效结点荷载，建立结构的整体刚度方程。计入边界支承条件，修改整体刚度矩阵[k]和结点荷载向量{FP}，形成实际结构的刚度方程，解得全体结点位移。根据叠加原理，计算各杆的杆端弯矩。解:（1）按图示结点与杆元的整体编码，各杆的固端弯矩依次为：F,(1)1F,(1)2F,(2)1F,(2)2F,(3)1F,(3)220320320320300MkNmMkNmMkNmMkNmMM（2）各杆的单元刚度矩阵均为：()42[]24jiikii1,2,3j结构的等效结点荷载例9.1图示一等截面三跨连续梁，各跨跨长l=4m，抗弯刚度系数i=EI/l均为相同的已知常量。试用矩阵位移法求出中间支承结点的角位移和各杆的杆端弯矩。9.7连续梁的矩阵分析单元①1122单元②1223单元③1324局部整体结点码(1)(1)1112(1)(1)(2)(2)21221112