一元二次方程求解(公式法求解).

第1页（共25页）一元二次方程求解（公式法求解）一．选择题（共2小题）1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜32．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3二．填空题（共19小题）3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=．6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么=．7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是．8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为．10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：第2页（共25页）小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．11．（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为．14．方程x2﹣3x+1=0的解是．15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac=．16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是．17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．18．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为．19．已知a＜b＜0，且，则=．20．方程x2﹣5x+3=0的解是．21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．三．解答题（共19小题）22．解方程：x2﹣3x+1=0．23．解方程：x2﹣5x+2=0．24．解方程：x2﹣3x﹣7=0．25．2x2+3x﹣1=0．第3页（共25页）26．解下列方程（1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12．27．解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）28．解方程：2x2﹣5x+1=0．29．解方程：（1）x2﹣6x﹣6=0（2）2x2﹣7x+6=0．30．解方程：2x2+3x﹣1=0．31．解方程：x2+3x+1=0．32．（1）解方程：x2=3（x+1）．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．33．用公式法解下列方程2x2+6=7x．34．解方程：x2+3x﹣2=0．第4页（共25页）35．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．36．解方程：3x2﹣6x﹣2=0．37．用公式法解方程：x2+x﹣1=0．38．解方程（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．40．解方程：3x2﹣4x﹣1=0．第5页（共25页）一元二次方程求解（公式法求解）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．2．（2014•淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6∴x====﹣±2，∴x1=，x2=﹣3；第6页（共25页）故选：C．【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．二．填空题（共19小题）3．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，∴x=；故答案为或．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．4．（2014•下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为6．【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【解答】解：方程x2﹣12x+31=0，变形得：x2﹣12x=﹣31，配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，开方得：x﹣6=±，解得：x=6+或x=6﹣，第7页（共25页）当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．5．（2015秋•彭阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=．【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0，整理得：7x2+44x+1=0，这里a=7，b=44，c=1，∵△=442﹣28=1908，∴x==．故答案为：．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．6．（2012•呼和浩特模拟）若x2+3xy﹣2y2=0，那么=．【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．【解答】解：由原方程，得两边同时乘以得：（）2+3﹣2=0设=t，则上式方程即为：第8页（共25页）t2+3t﹣2=0，解得，t=，所以=；故答案是：．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．7．（2016秋•新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是b2﹣4ac≥0．【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0，移项，得ax2+bx=﹣c化系数为1，得x2+x=﹣配方，得x2+x+=﹣+即：（x+）2=当b2﹣4ac≥0时，开方，得x+=解得：x=．故答案为：，b2﹣4ac≥0．【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．8．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=第9页（共25页）41，x1=，x2=．【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x=求出即可．【解答】解：2x2﹣7x+1=0，a=2，b=﹣7，c=1，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，∴x==，∴x1=，x2=，故答案为：41，，．【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．9．（2011•齐齐哈尔）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为a1=2+，a2=2﹣．【分析】用公式法直接求解即可．【解答】解：a===2±，∴a1=2+，a2=2﹣，故答案为：a1=2+，a2=2﹣．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．第10页（共25页）10．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义．【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．11．（2000•朝阳区）（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；第11页（共25页）（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．【分析】（1）直接代入公式计算即可．（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．【解答】解：（1）①解方程x2﹣2x﹣2=0①，∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，∴x===1，∴x1=1+，x2=1．②解方程2x2+3x﹣l=0，∵a=2，b=3，c=﹣1，∴x==，∴x1=，x2=．（2分）③解方程2x2﹣4x+1=0，∵a=2，b=﹣4，c=1，∴x===，x1=，x2=．（3分）④解方程x2+6x+3=0，∵a=1，b=6，c=3，∴x===﹣3，∴x1=，x2=．（4分）（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．（8分）一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数．第12页（共25页）∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，∴n2﹣ac≥0，∴x====（11分）∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为．（12分）【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简．12．（2016秋•安陆市期中）已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为0．【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．【解答】解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．第13页（共25页）13．（2015秋•天津校级月考）方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为x=．【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．【解答】解：△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，x==，所以x1=＞0，x2=＜0．即方程的负数根为x=．故答案为x=．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．14．（2010•无锡）方程x2﹣3x+1=0的解是x1=，x2=．【分析】观察原方程，可用公式