专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间(讲稿)

第三章线性赋范空间与内积空间内积空间+完备性希尔伯特空间线性赋范空间+完备性巴拿赫空间线性空间+内积内积空间线性空间+范数线性赋范空间泛函分析正是把空间的代数结构与几何结构进行结合的研究，才得到了许多有实用价值的结果。•线性赋范空间与巴拿赫空间专题九线性赋范空间与巴拿赫空间•有限维线性赋范空间—线性代数研究对象•无限维线性赋范空间—泛函分析研究对象代数结构最常用距离空间Rn,m,C[a,b],lp,Lp[a,b]完备性范数线性赋范空间线性空间距离线性距离空间巴拿赫空间线性运算按范数连续线性运算按距离连续几何结构线性运算距离空间线性运算按范数连续赋范空间线性运算||x||=d(x,0)线性运算按距离连续||x||=d(x,0)又都是线性空间d(x,y)=||x-y||DFB集合距离线性运算1范数与线性赋范空间:||||满足，定义实值函数是一线性空间，设xXxXxxx0||||0||||1，（非负性），且）)(||||||||||2齐次性）xx)(||||||||||||3三角不等式）yxyx为线性赋范空间。的范数为则称XXx,||||一、线性赋范空间与巴拿赫空间定义72由范数诱导的距离||||),(,,,xyyxXyxX定义为线性空间设满足下面条件：)(),0,(||)0,(2),()0,(1Rxxyxyx））为由范数诱导的距离。则称),(yx定义8范数公理注：成按由范数诱导的距离线性赋范空间||||),()2yxyxX赋范空间一个度量空间成为线性)3：即满足算是由范数诱导的距离距离函数按规定线性运),(||)0,(),()0,(yxxyxyx||||)0,()1xx显然距离空间。意义的性赋范空间是一种特殊为距离空间。可见，线定义的范数应满足：一个线性赋范空间中所)4)0,(||||xx因此，一般范数定义为距离公理范数公理——由线性度量空间构造范数使之成为赋范线性空间的方法例8数列空间)(|),,,,(21orCRxSinSyxnn),,,,(),,,,,(2121||1||21),(11iiiiniiyxniiiiiiniix11||||1||21||||1||21)0,(1）定义1(x,y)满足距离公理，是S上的距离函数故S是距离空间2）S按照通常数列的加法和数乘运算是线性空间3）但距离函数1(x,y)不是由范数诱导的距离：事实上，当||1时，,||1||21)0,(1niiiix)0,(||)0,(xx3常见空间的范数与距离对照表(1)Rn(2)m||max),(iiiyxiixmaxniiiyx11||),(niix11||||sup),(iiiyx||supiixpnipix11][pnipiiyx11][),((3)lp21][),(122niiiyx21122][niix(4)C[a,b]|)()(|max),(tytxyxbta)(maxtxxbxapbapdmtytxyx1|)()(|),(pbapdmtxx1)(2122|)()(|),(badttytxyx2122|)(|badttxx(5)Lp[a,b]例如：，是完备的线性赋范空间按范数）21122]||[||||1niinxR空间。是按范数）Banachxmii||sup||||2空间。是按范数）Banachxlpipip11)||(||||3空间。是按范数）BanachtxxbaCbxa|)(|max||||],[4空间。是按范数）BanachdttxxbaLpbapp1]|)(|[||||],[6是线性赋范空间，按范数）2122)|)(|(||||],[5dttxxbaCba空间。不完备，因而不是按距离但BanachdttxyxbaCba212)(),(],[4巴拿赫（Banach)空间定义9完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。因此Rn是Banach空间。定理1设X是线性赋范空间，{xn}、{yn}X,x,yX,{n}R,R如果n,xnx,yny,则有xnx,nxx,xn+ynx+y证n|n-|0xnx||xn-x||0yny||yn-y||0||xn-x||=||||xn-x||0xnx||nx-x||=|n-|||x||0nxx||(xn+yn)-(x+y)||=||(xn-x)+(yn-y)||||xn-x||+||yn-y||0xn+ynx+yxxxxxxxxnnnnnn0),(lim0lim.5线性赋范空间中的极限理论定义10（极限）设X是线性赋范空间，{xn}X,xX。线性赋范空间中线性运算对范数的连续性定理2设X是线性赋范空间，{xn}X,xX.1)如果xnx,则{||xn||}有界（范数列的有界性）；证1)xnx||xn-x||0||xn||||xn-x||+||x||||x||{||xn||}有界2)如果xnx,则||xn||||x||(范数的连续性，即||x||是x的连续函数）；2)一方面，||xn||-||x||||xn-x||另一方面，||xn||-||x||=||xn||-||x-xn+xn||||xn||-(||x-xn||+||xn||)=-||xn-x||因此|||xn||-||x|||||xn-x||xnx||xn-x||0|||xn||-||x|||0||xn||||x||定理3设X是线性赋范空间，d是由范数诱导的距离，则对x，y,z0X有.1)平移不变性：d(x+z0,y+z0)=d(x,y)证1)d(x+z0,y+z0)=||(x+z0)-(y+z0)||=||x-y||=d(x,y)2)绝对齐次性：d(x,y)=||d(x,y)2)d(x,y)=||x-y||=||||x-y||=||d(x,y)设{xn}是线性赋范空间X中的点列，表达式5线性赋范空间中的无穷级数121......nnnxxxx称为X中的无穷级数niinnxxxxs121...称为级数的部分和。如果存在sX,使得||sn-s||0(n),则称级数收敛于s，s称为级数的和，记为1nnxs如果数项级数1nnx收敛，则称级数1nnx绝对收敛；当X是巴拿赫空间时，若级数绝对收敛则级数一定收敛。6线性赋范空间中的完备化定义5（线性等距同构）设（X1，1）和（X2，2）是同一数域上的两个线性赋范空间。如果存在一一映射T：X1X2，满足：T(x+y)=T(x)+T(y)，则称X1与X2是线性等距同构的，也称T是从X1到X2的线性等距同构映射。（1）线性：x,yX及，，成立（2）等距：xX，成立Tx2=x1注：两个同构的线性空间可以看作是同一的。定理4（完备化定理）设（X，）是一线性赋范空间，则必存在唯一的巴拿赫空间Y，使X与Y的一个稠密子空间Y1线性等距同构。212)(),(badttxyx例如，C[a,b]按范数不完备，其完备化空间是L2[a,b].•有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力工具。二、有限维线性赋范空间的特殊性质•有限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间的相似性)1n维线性赋范空间的模型（反映了与欧氏空间Rn的关系）定理1n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn（在某种范数下）是线性等距同构的。证设{e1,e2,…,en}是X的一个基底，niiiex1(1,2,…,n)Rn,xX，也使得niiiex1X与Rn之间存在着一一对应关系T：),,(~11nniiixTxexnRXT:xX，(1,2,…,n)Rn,使得1）T是线性同构映射：RXeyexniiiniii,,,11TyTxyxeTyxTRyTyRxTxnnniiiinnnn~~),,()()(),,(~,),,(~111112）T关于X与Rn的某种范数是等距同构映射：nnniiiRxTxXex),,(~11XXniiinxefxf121),,,()~(在Rn中定义实值函数：000)~(,0)~()1(xxxfxfX且)~()~(~,)2(xfxxxfRxRXXn)~()~()~~(~,~)3(yfxfyxyxyxfRyxXXXn故是Rn中的范数，记作：则,~)~(nRxxf)~(xfXRxxn~注：任何n维线性赋范空间的模型都可以看作Rn，从而任何有限维线性赋范空间都是完备的。2范数的等价性定义2（等价范数）设||·||1，||·||2是同一线性空间X中的两个不同的范数。如果当||·||10时有||·||20，则称||·||1比||·||2更强；如果||·||1比||·||2更强，切||·||2比||·||1更强，则称||·||1与||·||2等价。定理2（范数等价的充要条件）线性空间X中的两个范数||·||1与||·||2等价的充要条件是：xX，存在两个正数a，b，使得212xbxxa3有限维线性赋范空间的特殊性质,~~11nnRniiXniiRxbbxaxa)(1niiiex定理3设X是n维实线性赋范空间，{e1,e2,…,en}是X的一个基底，则a,b0,使对xX,有证一方面nRniiniiininiiiniiiXxbbeeex~max11111,max1inieb令Xexniii1另一方面nnniiiRxXex),...,,(~211Xxxf)~(是Rn中的范数，因而在Rn上非负连续在Rn中的有界闭集（单位球面）)~(xf上有最小值a}1|||),,({11~niinxS,)~(,~axfSx0~,),...,,(~0,211xRxxXexnnniiiSxniinniinii112111||,,||,||~axeexxfniiXniiXniiiXniiniiiX1111111||||||)~(nRniiXiniiXxaaex~11,||11Xxxnii，||||max1inieb注：定理中，)~(min~xfaSx定理4（范数等价性）设X是有限维线性赋范空间，则X上的任何范数都等价。证设||·||1，||·||2是X上的任意两个范数，则根据定理3，,11111niiniibxa,0,,,,22111babaXexniii使,12212niiniibxa,11122212112niiniixabbxaxba||·||1与||·||2等价注：定理4表明，有限维线性赋范空间X上的任何范数的