第1章 矢量分析

第一部分电磁场基本理论第1章矢量分析知识核心1．麦克斯韦方程组是电磁现象的基础，可以用来解释所有的微观电磁现象2．麦克斯韦方程组用三维空间中矢量的某种数学运算来描述标量(scalar):只具有数值大小，而没有方向的物理量。如质量、密度、温度、功、能量、速率、时间、热量、电阻等物理量。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。矢量（vector）:指需要大小和方向才能完整表示的物理量。如位移、速度、加速度、力、力矩、动量等物理量。矢量也常称为向量。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。如矢量加法一般用平行四边形法则。标量场和矢量场（一）场（field）：假设有一个n维空间，如果空间的每一个点都具有某一特性的“量”，这种性质的“量”，就被称为“场”。如温度场、电场、磁场、电磁场。标量场(scalarfield)：如果空间中每一个点所赋予的“量”为标量，此空间就为标量场。矢量场(vectorfield)：如果空间中每一个点所赋予的“量”为矢量，此空间就为矢量场。标量场和矢量场（二）矢量分析又称数学场论，是研究各种类型场运动规律的数学工具，它的数学公式与场的物理概念紧密相关场论是把各种物理的场在数学上抽象成矢量场和标量场来研究麦克斯韦方程组描述的电磁场场量可以用矢量来描述一、矢量的概念矢量就是有方向的量，矢量包含了两种信息：幅度和方向矢量的表示：用黑体符号来表示或用上面带箭头的符号来表示用有向线段（带箭头的线段）来表示:AAAB如果矢量在直角坐标系每个坐标轴上的投影分别为Ax,Ay,Az，则矢量可以写成单位矢量的叠加：zzyyxxaAaAaAA为了能对矢量进行运算，首先必须确定坐标系直角坐标系：由三个相互垂直的平面构成，某一点的位置由这三个平面的交叉点来描述：P=（x,y,x）二、矢量的运算矢量运算矢量的加法矢量的乘法矢量的积分矢量的散度矢量的旋度1.矢量的加法运算定义：矢量可以通过各个分量的相加来实现叠加。若A=Axax+Ayay+AzazB=Bxax+Byay+Bzaz则A+B=(Ax+Bx)ax+(Ay+By)ay+(Az+Bz)az矢量也可以按平行四边形法则或三角形法则来实现相加：ABA+BAB-BA-BA-B-BBAAA+BB矢量的加法运算满足：1)交换律：A+B=B+A2)结合律：A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)3)矢量与系数k相乘等于k与各个分量相乘的和：kA=(kAx)ax+(kAy)ay+(kAz)az若k=-1，则得两个矢量相减：A+(-B)=A–B=(Ax-Bx)ax+(Ay-By)ay+(Az-Bz)az2.矢量的乘法运算两个矢量的乘积有两种定义：点乘和叉乘(1)两个矢量的点乘（标量积，点积）——结果是标量•定义：AB=ABcos其中为A、B间的夹角直角坐标系中：AB=AxBx+AyBy+AzBzABBABABAABzzyyxx11coscosBAA在B方向上的投影AB•物理意义：表示一个矢量与另一个矢量投影的乘积两个矢量的点乘满足：1）AB=BA2）(A+B)C=AC+BC4)两个单位矢量的点乘：aiaj=1i=j0i≠j推论：AB=0A⊥B（可作为两矢量相互垂直的判据）3)AA=A2直角坐标系中，AA=Ax2+Ay2+Az2（2）两个矢量的叉乘（叉积、矢量积）——结果是矢量定义：C=A×B模C=∣A×B∣=ABsin方向C⊥A，C⊥BA、B、C成右手螺旋关系ABBsinC=A×B即叉积垂直于由两个矢量构成的平面1)A×B=-B×AA×(B+C)=A×B+A×C2)A×A=0直角坐标系中，zxyyxyzxxzxyzzynABaBABAaBABAaBABAaBABA)()()(sin为单位矢量na两个矢量的叉乘满足：3.矢量的积分运算在直角坐标系中，路径长度微分元，曲面积微分元和体积微分元为：zyxvyxxzzyzyxzyxzyxdddddddddddddddaaasaaal（1）矢量场沿曲线C的积分：dzFdyFdxFdlFldFCzCyCxCCcos乘积的积分cosFFld该积分表示沿路径切向的分量与沿曲线C的路径长度微分乘积的积分。乘积的积分•沿闭合曲线的线积分定义为矢量场的环流量:环流量的计算LzyxLLzAyAxAlAlAΓ)ddd(dcosd•沿不闭合曲线的线积分定义为力场所做的功:llFdP1P2环流量的物理意义：0dclA——表明c包围涡旋源0dclA——表明c不包含涡旋源水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源例：流速场例1：求力F=2yax+xyay+zazN将目标从P1（1，1，0）移动到P2（0，2，3）点所做的功,路径方程：解：JzdzydyydxxzdzxydyydxldFWxyzxyzba61322220121300121302xy（2）矢量场在曲面S上的面积分：dxdyFdxdzFdydzFdsFsdFzyxSScosF其中,是矢量和曲面法线之间的夹角。面积分表示我们将矢量F垂直于积分面的分量与曲面微分元的乘积进行相加。该结果给出了矢量F通过曲面S的通量。(1)矢量场A穿过面元dS的通量：SAdcosdSA(2)矢量场A穿过开曲面S的通量：SSSAdcosdSA(3)矢量场A穿过闭合面S的通量：SSSAdcosdSA矢量场的通量的定义:通量的物理意义：以流体为例，若0dSSv每秒有净流量流出，封闭面内有正源0dSSv每秒有净流量流入，封闭面内有负源每秒流入封闭面和流出封闭面的净流量相等，封闭面内无源，或正源与负源相等0dSSv例2：求矢量力场F=2xax+ay-az在三点（2，1，0），（2，3，0）和（2，3，4）所确定的平面上的通量。解：16cosdxdyFdxdzFdydzFdsFsdFzyxsszyxzyxaaa称为矢量微分算子，也叫汉密顿算符。4.矢量的散度和旋度运算（1）汉密顿算符定义:汉密顿算符的运算:zFyFxFxyx)()(zzyyxxzyxFFFzyxFaaaaaazyxzyxFFFzyxFaaa)()()(yFxFxFzFzFyFxyzzxyyzxaaa矢量场的散度运算，散度源矢量场的旋度运算，旋度源（2）矢量场的散度的定义FzFyFxFsdF0Fzyxslimdiv矢量场的散度是指当体积趋向于零时，每单位体积内的矢量向外的净通量。散度是标量实质上，矢量场的散度表示从一个点出发的场的通量，它指出了在那个点处的合成源。散度定理表明：矢量场通过任意闭合面向外的总通量等于矢量场的散度在闭合面所包围的体积内的积分。这个结论使体积分和面积分能相互转化。vSdvFsdF散度定理（3）矢量场的旋度的定义矢量场的旋度是当平面面积S收缩为零时，矢量场沿包围不闭合面S的边界线C的线积分。旋度是矢量实质上，旋度是矢量场关于一个点的合成环流量。旋度表征了矢量在三个相互正交的平面内的环流量。FayFxFaxFzFazFyFSldFFzxyyzxxyzCS)()()(curllim0斯托克斯定理表明：矢量场沿任意闭合回路C的环流量可由矢量场的旋度在由此闭合回路所包围的开曲面上的面积分来获得。这个结论使得面积分和线积分之间能相互转换。斯托克斯定理SCldFsdF)(旋度的重要性质0)(F三、亥姆霍兹定理一个矢量场只可能有两种源——旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。1.矢量场和源的关系无旋场：一个矢量场F，对任意闭合路径都有0dclF则称其为无旋场——F=0无旋场对应着一个标量场f——F=f无散场：一个矢量场F，对任意闭合面都有0dSSF则称其为无散场——F=0无散场对应着一个矢量场A——F=A源是场的因，场同源一起出现。若F=0，则F≠0——散度源（通量源）若F=0，则F≠0——旋度源（涡旋源）例：判断矢量场的性质FFFF0000四、标量场的梯度llaaaddddddfzfyfxfzzfyyfxxffzyx梯度：设有一个标量场f从场中某点沿路经dl位移到邻近的另一点，此标量值从f变化为f+df，在直角坐标系内增量为zyxzfyfxffaaa梯度的物理意义0u梯度矢量重要性质梯度的模为为f的最大增加率，方向与等值面相垂直，即等值面的法线方向。等值面：由f值相同的点构成。nlffdd0f例：求标量场zeyxzyxf326),,(在点P（2，1，0）的梯度。zz32yz32xz32eyx6zeyx6yeyx6xfaaazzy22x3eyx18xy12aaa),,(zyxfzyxfaaa7224在给定点P（2，1，0）处，的梯度是解：常用的正交曲线坐标系有13种：直角、圆柱、球、椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、圆锥、环五、正交曲线坐标系简介坐标线（轴）：三张正交曲面两两相交而成的曲线坐标原点（基准点）：三条坐标线的交点坐标变量：三个独立的自由度，用e1、e2、e3表示坐标单位矢量：空间任一点与坐标线相切且指向变量增加方向的三个单位矢量，用a1、a2、a3表示e1、e2、e3呈右手螺旋关系——右手系e2e1e3P(,,z)：P到z轴垂直距离：在xoy面内的投影与+x轴的夹角z[1.圆柱坐标系1)叉乘关系：(a×)→(a×)→(az×)1i=j0i≠jaiaj=2)点乘关系：3)与直角坐标的换算关系：axyxyOasincosyxxytgyx22cossinsincosyxyxaaaaaaxaya注意：ax、ay、az是常矢量，模值为1，方向不变。而a、a模值为1，但方向随变化，是的函数，是变矢量。aaaaaaaasincoscossinyxyx4)位置矢量r（从原点指向某点）直角：r=axx+ayy+azz圆柱：r=a+azzxzyOazaaPr5)线元矢量:（位移矢量）laaaaaaaardddddddd)(ddzzdzzzzdrr+drr直角坐标系中：dl=axdx+aydy+azdzxzyOazaaPr6)面元矢量：方向的定义：开表面:与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系闭合面:外法线方向dSdSdS直角坐标系中：dS=axdSx+aydSy+azdSz其中dSx=dydz，dSy=dxdz，dSz=dxdy分别是dS在yoz面，xoz面和xoy面上的投影开表面面元方向闭合面面元方向7）体积元：dS、dS、dSz分别是dS在圆柱侧面（面）、过轴线的半平面（面）和xOy面(z面)上的投影。直角系中圆柱系中dv=dxdydzdv=