第三章 趋势外推预测法

趋势外推预测法趋势外推预测法：是根据事物过去和现在的发展趋势推断未来发展趋势的一类方法的总称。可以分为：线性趋势外推法和曲线趋势外推法。第一节线性趋势外推法时间序列线性趋势预测法主要研究事物的自身发展规模，借以预测事物未来发展趋势。最早将这种方法应用于商情研究和预测的是美国哈佛大学的珀森斯教授。到20世际70年代，随着计算机技术的发展，该方法被广泛应用于水文、地震、经济等各个领域。1、最小二乘法确定直线方程最小二乘法：通过对时间序列拟合直线，使得直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和最小。21)ˆˆ(ntttxbayQ然后利用数学上的最优化求解方法，通过求导使Q值达到最小。解得：nttntttxxyyxxbxbya121)())((ˆˆˆ例1：已知A公司1998年—2008年的销售利润如下表所示，是预测该公司2009年的销售利润。首先：判断数据的特点。形式1：统计图形式2：差分其次：确定参数。方法1：利用“工具”——数据分析——回归这里的回归是对时间t的回归。ty245.807.111ˆ利用FORECAST函数或者TREND函数或者直接代入数据进行预测。方法2：linest:线性估计最小二乘法。如果known_y's对应的单元格区域在单独一列中，则known_x's的每一列被视为一个独立的变量。如果known_y's对应的单元格区域在单独一行中，则known_x's的每一行被视为一个独立的变量。Known_x's可选。关系表达式y=mx+b中已知的x值集合。const可选。一个逻辑值，用于指定是否将常量b强制设为0。如果const为TRUE或被省略，b将按通常方式计算。如果const为FALSE，b将被设为0，并同时调整m值使y=mx。stats可选。一个逻辑值，用于指定是否返回附加回归统计值。如果stats为TRUE，则LINEST函数返回附加回归统计值。注意：最后默认的“确定键”为Ctrl+shift+enter计算结果数据含义回归系数系数的标准误可决系数R2，因变量标准误差F统计量、自由度回归平方和、残差平方和8.245454545111.07270.2062165191.3986280.9944021372.1628171598.75642497478.62727342.1最后计算预测的精确度，给出精确度指标。2、移动平均法进行预测（1）简单平均：移动平均预测法是选择固定长度的移动间隔，对时间序列逐期移动求得平均数作为下一期的预测值。用公式表示为：(3--1)Yt+1：第t+1期的预测值；Mt：第t期的移动平均值；Yt:第t期的实际观测值；n：移动步长。移动平均预测法是把第t期移动平均值作为第t+1期的预测值。nYLYYYMYntttttt1211ˆ步骤：工具——数据分析-移动平均，N的取值取决于预测精度的高低。(2)二次移动平均预测法适用条件：简单移动法和加权移动平均法，时间数列没有明显的趋势变动时，他们能够准确的反映实际情况。但是当时间序列出现直线增加或减少时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差，因此需要修正，方法是做二次移动平均：在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均。Ｍt(2)＝(Ｍt(1)＋Ｍt-1(1)＋…Mt-N+1(1))/N式中：Ｍt(2)为第t期二次移动平均值；Ｍt(1)为一次移动平均值；N为移动时期数。设时间序列从某时期t开始具有线性增长趋势，且认为未来时期也按线性趋势变化，则可建立如下趋势直线方程：at=2Mt(1)-Mt(2)bt=2/(N-1)*(Mt(1)-Mt(2))Ft+T=at+btTT为预测的长度。N为移动项数。注意：输出区域此时的选择建立预测方程：F11+T=202.75+8.5T3、指数平滑预测法指数平滑法是用过去的时间序列的加权平均数作为预测值，是加权移动平均法的一种特殊形式，由美国经济学家布朗（RobertG.Brown）于1959年在其著作《库存管理的统计预测》中提出来的。优点：克服了移动平均法的缺点，因为（1）指数平滑法只需要确定一个权数，即近期观测值的权数，其他时期的权数可以自动推算出来，而且观测值离预测时期越远时，其权数也变得越小。（2）要储存的数据很少，只需要前一期的实际观测值及前一期的预测值。（1）一次指数平滑法适用：适用于无趋势、无季节性变动的平稳时间序列的短期预测。指数平滑公式：St(1)=aYt+(1-a)St-1St(1)：t时期的一次指数平滑值。a平滑系数（0a1)；Yt为t时期的观察值。预测公式：St=Ft+1：第t期的指数平滑值作为第t+1期的预测值。因此，上式可写成：Ft+1=aYt+(1-a)FtT=1,2,3,4….n。模型关键：确定平滑系数和初始值平滑系数a的确定：（1）当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，a应取小一些，如0.1~0.3，以减小修正幅度。（2）当时间序列的波动较大时，应选择居中的a值，如0.3-0.5。（3）当时间序列波动很大时，并呈现明显的且上升或下降趋势时，a值应取大些，如0.6-0.8，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化。（4）在实际预测值中，可以取几个a值进行试算，比较他们的预测误差，选择误差小的那个a值。初始平滑值的确定：（1）当原数列的数值个数较多时（n15），由于经过多次平滑运算，初始值对指数平滑值影响逐步减弱到极小的程度，可以忽略不计，所以可以选用第一期观察值作为初始平滑值S0=Y1（2）当原序列的数值个数较少时，n15，可以选用最初几期的平均数作为初始平滑值,一般是前3-5个数据的算术平均数。例：假定1993-2008年产品C销售情况如表所示，试用指数平滑法预测2009年的产品销售量。方法1：直接计算：先计算指数平滑再进行预测。假定初始平滑值S0=97，以平滑系数=0.3为例。方法2:Excel实现：工具—数据分析——指数平滑注意：（1）默认的初始平滑值是原始数据的第一项。（2）阻尼系数=1-a（3）最后一期平滑值需要再重新计算一下。（4）注意输出区域的选择。比较不同平滑系数下的精确度：平滑系数=0.1平滑系数=0.5平滑系数=0.8（2）二次指数平滑法二次指数平滑法是呈现线性趋势的时间序列在一次指数平滑的基础上，再做一次指数平滑，然后利用二次指数平滑值，建立预测的数学模型，利用模型确定预测值。平滑公式：St(2)=aSt(1)+(1-a)St-1(2)St(2)为第t期的二次指数平滑值。当时间序列从第t期开始至以后具有直线变化趋势时，可建立如下的直线趋势模型。TbaYttTtˆt为一次及二次指数平滑值的期数；T为t之后的预测期数；at、bt为模型参数。)(12)2()1()2()1(ttttttSSaabSSa例：假定1993-2008年产品C销售情况如表所示，试用指数平滑法预测2009年的产品销售量。取阻尼系数=0.751.11546.9001111baTbaYT111111ˆ精确度：MAPE=11.69%第二节曲线外推预测法1、二次曲线外推预测法0)(20)(2Q0)(2Qˆ22210222101221002210ttbtbbybQttbtbbybtbtbbybtbtbbyt：确定参数用最小二乘法4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby经整理得：例：已知2000-2008年某省GDP如下表所示，试预测2009年该省GDP。第一步：判断数据特点。方式1：统计图方式2：差分：二阶差分为常数2b0020004000600080001000012000123456789第二步：确定参数。方法一：直接计算公式里面的各个系数。方法二：添加趋势线。y=56.72x2+352.13x+2762.6R2=0.9988020004000600080001000012000123456789方法3：利用工具-数据分析-回归首先计算出t2注意：时间t,t2的排列顺序。第二步：带入模型进行预测。第三步：计算精度指标：MAPE2、指数增长曲线模型预测模型：ttabyˆ式中：a,b为参数；t为时间。指数增长曲线预测模型特点：环比发展速度为一常数。2、确定参数方法：模型两边取对数，曲线变直线形式。tBBbAaYybtayttAYˆlg,lg,ˆˆlglglgˆlg方程变为：令：应用：参数A、B的确定方法为最小二乘法。2tBtAtYtBnAY确定A，B后，求反对数，则得a,b的估计值。例：某市居民储蓄存款余额资料如表，预测2000年该市居民储蓄存款余额。解：第一，选择预测模型，环比速度大体上接近。第二，建立指数曲线预测模型，确定参数。求反对数，解得a=？b=？。第三步，预测，将t=13代入模型，可得2000年该市居民储蓄存款余额的预测值。注意：取对数的时候可以取以10为底的对数，也可以取以自然对数为底的对数。两种情况下求反对数的时候用到的函数分别为：POWER和EXP。