正方形亥姆霍兹线圈磁场特性

正方形亥姆霍兹线圈的磁场均匀性谭曦，刘军，殷建玲(军械工程学院光学与电子工程系，河北石家庄050003)*摘要：利用三个正方形亥姆霍兹线圈构建三维匀强磁场，并分析其匀强磁场区域特性。将正方形亥姆霍兹线圈视为四段载流导线，采取分段计算然后矢量叠加的方法，分析正方形亥姆霍兹线圈轴线上和空间磁场强度及其均匀性，及其仿真数据结果。最后得到正方形亥姆霍兹线圈三维匀强磁场的结构模型及相关数据分析，证明了三维亥姆霍兹线圈产生的磁场满足匀强磁场要求。关键词：光纤陀螺(FOG)；亥姆霍兹线圈；磁敏感性；磁场均匀性中图分类号：O441文献标识码：Adoi：10．3969／j．issrL1005—5630．2012．01．008ThemagneticfieldunifomlityofsquareHelmholtzcoils1HNXi，LJUJ“，2，ⅥN，施咒Zi729(Departmentof0pticalandElectronicEngineering，0rdnanceEngineering(二01lege，Sh妇iazhuang050003，China)Abstract：UsingthreesquareHelmholtzcoilstobuildthre}dimensionaluniformmagneticfield，andthecharacteristicsofuniformmagneticfieldregionwereanalyzed．HereregardingsquareHelmholtzcoilsasfourcurrent—carryingconductor，three—dimensionalspaceandaxesmagneticintensityanduniformityofsquareHelmholtzco订wereanalyzed，andtheresultofsimulatingdataweregiven．Lastly，theframeworkmodelanddataanalysisofthree-dimensionaluniformmagneticfieldofthreesquareHelmholtzcoilswerepresented，provingthattheuniformityofmagneticfiledofthree-dimensionalHelmholtzcoilsmeetthedemand．KeywordS：fiberopticgyroscope(FOG)；Helmh01tzcoil；magneticsusceptibility；magneticfielduniformitv引言光纤陀螺自问世以来便以其可靠性高、成本低、体积小等优点成为研究的热点Ⅲ。然而，国内外尚缺乏对光纤陀螺磁场敏感特性的理论以及工程研究。为研究光纤陀螺的磁敏感特性，首先需要构建一个磁场均匀性好、范围大的三维匀强磁场环境，而匀强磁场在物理学的理论分析和实验研究中都起着十分重要的作用。亥姆霍兹线圈是由一对相同的、共轴的、彼此平行的各密绕有N匝电流线圈所组成。由于它结构简单又能产生均匀性较好的磁场，因此成为磁测量等物理实验的重要组成部件[2]。目前，虽然关于圆形亥姆霍兹线圈构建匀强磁场的研究较多，但因其不便于加工、定位，故难以在工程中构建大型三维匀强磁场。为满足研究光纤陀螺磁敏感性的实际应用需求，文中将采用正方形亥姆霍兹线圈为模型，构建三维‘收稿日期：20ll—09—07作者简介：谭曦(1987一)，男，吉林辽源人，硕士研究生，主要从事光学仪器的设计与应用方面的研究。万方数据·40·光学仪器第34卷匀强磁场。针对正方形亥姆霍兹线圈产生的磁场进行分析，研究其轴线上和空间磁场均匀性，及由其构建的三维匀强磁场的磁场特性。1正方形亥姆霍兹线圈轴线上的磁场首先分析单一正方形载流线圈轴线上的磁场强度。将正方形载流线圈视为四段载流导线，采用分段计算然后矢量叠加的方法，得到正方形载流线圈中心轴线上磁场分布的一般表达式。根据毕奥一萨伐尔定律可以推导出一段载流直导线在空间某点p产生的磁场[3]为B一等(cos曰1一cos＆)(1)式(1)中，岸。一4兀×101N·Aq为真空磁导率，工为电流强度，口，、晚为导线两端到点夕的连线与导线夹角，d为点乡到导线的距离，磁场方向与电流方向成右手螺旋关系。将正方形载流线圈视为四段载流直导线，利用式(1)可以求解其磁场分布情况。如图1，取正方形线圈的中心为坐标原点，平行于水平边向右为z轴正方向，垂直于纸面向内的方向为3，轴正方向，z轴垂直于线圈平面。2轴方向与电流方向形成右手螺旋关系，设正方形边长为2z。AB边电流在P点产生的磁感应强度[4]：d一以霭(2)c。。口。：c。s么PAQ一竺一—=兰二=(3)PA~／222+妒c。s岛一一c。s么PBQ一竺一一—=兰=二(4)PB~／222+妒如一荔与[志+志J_而蒜㈣同理，B田一JB④一Bm—J6IAB，由正方形对称性可知，曰AB与J5i④相对于z轴对称并且B匿与Bm也相对于2轴对称，所以它们沿垂直于z轴方向的分量相互抵消，而沿z轴方向的分量相互叠加为：B一4BABcos么即一————竺生兰二=(6)7【(Z2+z2)~／222+名2现称一对相同的、共轴的、彼此平行的各密绕有N匝线圈的正方形载流线圈为正方形亥姆霍兹线圈，如图2所示。对于正方形亥姆霍兹线圈轴线上的磁场分析，1、2分别表示线圈1与线圈2，设正方形载流线圈边长为2z，所通电流I同向，两者相距为2n，以两线圈之间中心轴线的中点0作为坐标原点，两线圈在中心轴线上Q处产生的磁感应强度分别等于：图1正方形载流线圈F晦1Squarecurrent-carryingcoils图2正方形亥姆霍兹线圈侧视图Fig．2SquareHelmholtzcoilssideelevationB，一塾!丝：兀[Z2+(n+z)2]~／222+(口+z)2(7)万方数据第1期谭曦，等：正方形亥姆霍兹线圈的磁场均匀性·41·B。一生塑：兀[z2+(口一z)2]、／t孤亨_=≠_ii_=可因为B·、Bz的方向都为z轴正方向，所以点Q的磁场J6l—B，+B。也沿z轴正方向：B一半{西瓦南菥+面五南丽}2正方形亥姆霍兹线圈轴线上的磁场均匀性分析(8)(9)由式(9)可知正方形亥姆霍兹线圈轴线上的磁场强度，为讨论其磁场均匀性，作如下分析。磁场B的一阶、二阶导数分别为：dB2岸。以2f(n—z)[3(n一2)2+522](口+z)[3(口+2)2+522]1，．、夏一—i一弋[zz+(n—z)z]z[2zz+(口一z)z]专[zz+(n+z)z]z[222+(口+z)z]号厂u∽d2B4伽皿2f6(口一z)6+18(以一z)422+11(口一z)2—526。6(以+z)6+18(以+z)422+11(口+z)2—526]膨7【l[(口一z)2+z2]3[(Ⅱ一z)2+222]专[(口+z)2+z2]s[(口+z)2+222]专』(11)由式(11)可见，当z—o时，dB／如一o，故在线圈的中心点磁场有极值。若在z—o处使dzB／dzz—o，则磁场B在中心点0处存在拐点，中心点附近沿轴向分布的磁场最为均匀。所以，若要设计出中心磁场最均匀的方形亥姆霍兹线圈，只需使以下等式成立：F(以)一6以6+18口4Z2+11口2—526—0(12)经计算得口一o．5445扣引，将口的值代人式(9)，可得N匝正方形亥姆霍兹线圈在轴线中心点0上产生的磁场强度B。为：甄一o．6481掣(13)￡由上可知正方形亥姆霍兹线圈产生的磁场存在均匀磁场区域，在其轴线上，在一o．343z≤z≤o．343z范围内，任意点磁场强度与中心点磁场强度B。偏差小于1％。3正方形载流线圈的空间磁场分析同样，利用式(1)及上述方法讨论正方形载流线圈的空间磁场。如图3，由于正方形具有对称性，不妨设点P(z，y，z)在zyz轴正方向上，首先计算AB边在P点产生的磁场强度。d一葡一以Fi阿图3正方形载流线圈的空间磁场Fig．3SpacemagneticfieldofHelmholtzcoils(14)c。s研一c。。么PAB一里一_==』兰兰二=(15)AQ√(Z～z)2+(Z—y)2+∥c。s＆一一c。s么PBQ一一呈一一—=二二二=竺三兰二=(16)B，~／(Z—z)2+(Z—y)2+z2将式(14)、式(15)、式(16)代入式(1)中，得：如一巧焘[而i等茜丽+E≤萧]Ⅲ，由于现主要讨论其近轴范围内的磁场特性，可以近似认为％垂直于PQ且与电流成右手螺旋关系，即如在垂直于y轴的平面内，与z轴正方向的夹角为么QPS；与z轴正方向的夹角为么PQS，从而可得JElAB的三个分量的表达式：万方数据·42·光学仪器第34卷％。一B仙c。s么QPs一耽竺一B船_==兰PQ√(z—z)2+z2口ok47c[(z—z)2+z2]BAB，一BABc。s(号)一o·．I一[]广而———荨——岩——-焉=——i—+——正——丢———蒜=——]—㈣=1，’(IX)L／可=j了【F万于了弘再。(z—z)2+(z—y)2+z2-J“⋯(19)％。如c。。么PQs一％墼一％_=兰三兰二PQ~／(Z—z)2+z2一蒜鸶高·[而再等丽再+瓦丢蒜]㈣，4缸(z—z)2+z2]L√n=j了【F可了i弘可(z—z)。+(z—y)2+∥_J⋯’应用同样的方法可求得其他三条边的电流在P点产生的磁感应强度B匿、B④、JEI硝及其在zyz轴方向产生的磁场分量，由于正方形载流线圈的对称性，在其近轴区域，对于非轴线上的任一点两线圈产生部分抵消的磁场分量玫、B，，经分析噩、B，要比B：小几个数量级[7]。因此，不考虑院、B，的影响，以下仅就其轴向磁场(B：)均匀性进行讨论。经计算可得正方形载流线圈在P点产生的磁感应强度B：的分量表达式：Bz—BABz+BBez+B回z+B‰一些4生兀!ll[(!z!—二兰z!)2+z2．『]_L以F乏矿!±干翌可干万霄。+以FiF干!万二羔二万霭．J]+。[(!z!±+z兰)!2+z2．]『L以弭iFF!二万羔i汐再F。+√丁再y干!二订型干万霭_j]+!!±21．f_!±兰+!二兰]’[(z+y)2+z2]L以弭iFF万F汐再Fl以F乏FF万再炉干7j+i』二肄i．』———j二L—一+———j±L—一Il(21)’[(z一3，)2+z2]L以FiF可F习币F。以再iF可F可可可_jj““4正方形亥姆霍兹线圈空间磁场均匀性分析图4为正方形亥姆霍兹线圈的空间示意，设正方形载流线圈边长为2z，所通电流工同向，两者相距为2n，以两线圈之间中心轴线的中点0作为坐标原点。在讨论正方形亥姆霍兹线圈磁场的均匀度时，由于其磁感应强度比较复杂，故仅讨论其近轴区域(中心点0附近)空间磁场的均匀性[8]。式(21)求出单个正方形载流线圈的感应强度B。的表达式，根据式(21)分别求出上下两线圈的感应强度玫的表达式并进行叠加，可求得亥姆霍兹线圈轴向磁场强度致的表达式，由于公式过长，故不再赘述。求B。(z，y，z)的均匀度可以通过求致(z，y，z)与最(o，o，o)的相对偏差【7]来表征：艿一I坠絮学I锄，艿称为磁场大小的偏差率，艿越小，均匀度越高。将最佳间距口一o．5445z代入到亥姆霍兹线圈轴向磁场强度B：的表达式中，采用分析特征值的方法考虑z、y、z轴，zy2轴三条角平分线以及体对角线上磁场均匀性，应用MatLab进行数值计算可求得[9』：若要求艿≤1％，则一o．343z≤z≤o．343z，一o．384z≤z≤o．384z；图4正方形亥姆霍兹线圈示意图F璩4SquareHelmholtzcoils万方数据第1期谭曦，等；正方形亥姆霍兹线圈的磁场均匀性·43·一o．384z≤3，≤O．384f；在z与y轴角平分线上，一o．326z≤岛／√2≤o．326z；在z与z轴和y与z轴角平分线上，一O．299z≤d。／√2≤o．299z，一o．299z≤d，／√2≤o．299z；在以坐标轴为边的体对角线上，一o．236z≤谚。／√3≤o．236z；