全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-1

第1章数、式与方程1.1数（式）的运算1.2解方程（组）1.3指数与对数的运算1.1数（式）的运算数的基本知识整式的运算分式的运算数的乘方和开方运算回顾数的基本知识有理数整数和分数统称为有理数。无理数无限不循环小数叫做无理数。实数有理数和无理数统称为实数。数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。倒数乘积是1的两个数叫做互为倒数。相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。绝对值几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a的绝对值记作|a|。代数定义：(0)||0(0)(0)aaaaaa例题解析例1求下列数的绝对值：（1）3.4（2）解单击鼠标继续37（1）因为3.40，所以|3.4|＝3.4。（2）因为0，所以||＝－()＝。37373737若ab，则a－b0，b－a0。所以c＝|a－b|－|b－a|＝(a－b)－(a－b)＝0若ab，则a－b0，b－a0。所以c＝|a－b|－|b－a|＝(b－a)－(b－a)＝0若a＝b，则a－b＝0，b－a＝0。所以c＝|a－b|－|b－a|＝0综上所述，c＝0。例2若a、b是两个已知数，且c=|a－b|－|b－a|，求c。解单击鼠标继续1．在－2、、、、这些数中，整数有_________，分数有_________________，有理数有_______________，无理数有_______________________。2．的相反数为______，倒数为______；0的相反数___，0有倒数吗？3．求下列各式中x的值：（1）x0，|x|＝2（2）x0，|x|＝0.1（3）|x|＝4．已知a≠0，，求x。4394225543aax整式的运算幂的运算法则（a、b≠0，m、n是整数）an·am＝an＋m(am)n＝am·n(a·b)n＝an·bnmmnnaaa常用乘法公式22))((bababa2222)(bababa2222)(bababa因式分解乘法因式分解多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向的变换。2xaxbxab+++))((bxax例题解析例1计算：（1）（2）解22(23)4(1)xxx+--23()(3)(7)4abcababc（1）原式222234842114xxxxxx=+-+-=-+-（2）原式2217(7)44acabcabc单击鼠标继续解例2把下列各式分解因式（1）（2）（3）3223215205ababab2221xyy2215xx（1）原式)143(522babba（2）原式2222(21)(1)(1)(1)xyyxyxyxy（3）原式)5)(3(xx单击鼠标继续1．计算2．计算3．分解因式：（1）（2）（3）（4）22(25)(346)xxxx2(37)(467)abaab22236482412()abcabcabcabc　　　　bcabaca2862xx2235xx--=分式的运算分式A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。BABA分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，即，（M为不等于零的整式）AAMBBMAAMBBM分式的运算分式的加减运算是使用通分进行的；分式的乘除运算是使用约分进行的。例题解析解例计算：（1）（2）（3）11axax2212babaabb22322222babbaababab分析分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法：①先将各分母分解因式；②将所有因式全部取出，公因式应取次数最高的；③将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除运算中，先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分子分母的公因式，再化简。（1）原式222()()()()axaxaaxaxaxaxax+-=+=-+-+-（2）原式2221()()()()babbaabababab+-=-==++++（3）原式)()())(()(22baabbabbababaab单击鼠标继续1．当x＝______时，分式没有意义。2．当x＝______时，分式的值为0。3．计算：（1）（2）xx3132xx3132332113baabba)252(423xxxx数的乘方和开方运算正整数指数幂nnaaaaaaa个（n是正整数）零指数幂10a（a≠0）负整数指数幂nnaa1（a≠0，n是正整数）平方根若x2＝a(a≥0)，则称x为a的平方根（二次方根）立方根若x3＝a(a≥0)，则称x为a的立方根（三次方根）n次方根若xn＝a（a是一个实数，n是大于1的正整数），则称数x为a的一个n次方根。当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，互为相反数，分别表示为和；而对于每一个负数a，它的n次方根没有意义。当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为。当a＞0时，＞0；当a＜0时，＜0。０的n次方根是０。nananananan次根式我们把形如（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根称为a的n次算术根，并且nana()nnaa（n1，n是正整数）例题解析例1计算：解033313(3)()()0.0122、　、　、　。0(3)133111()8112()28313(1)(3)332228()[()]()()233327　323(2)(3)60.01(10)1010例2求－8的立方根，16的四次方根。解－8的立方根为382-=-4162??16的四次方根为单击鼠标继续例题解析例计算（用计算器运算）：（1）2215（用科学计数法表示，保留4位有效数字）（2）(1.052)10（保留4位有效数字）（3）10×(1.052)10（保留4位有效数字）（4）（保留4位有效数字）（5）（保留4位有效数字）（6）（精确到0.001）解10610100(61)-756.456-分析在计算器上用一个yx键来进行数的乘方运算，按键顺序为：底数yx指数＝在计算器上用yx的第二功能键进行数的开方运算，按键顺序为：被开方数2ndFyx开方次数=（1）2215≈1.369×1020（2）(1.052)10≈1.660（3）10×(1.052)10≈16.60（4）≈1.196（5）≈19.62（6）≈－1.03510610100(61)-756.456-单击打开计算器单击鼠标继续1．计算下列各式的值：40、、、0.1－2。2．的平方根为______；0的平方根为_____；－27的立方根为______；的立方根为______；的四次方根为_____。3．用计算器运算：（1）3212、(－2.05)10（用科学计数法表示，保留4位有效数字）（2）、（精确到0.001）0(2)23()2162582716816106866.4561.2解方程（组）解一元二次方程解简单的二元二次方程组回顾解一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca　　求根公式aacbbx242判别式24bac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根。一元二次方程的解法（1）直接开平方法。（2）配方法。（3）公式法。（4）因式分解法。根和系数的关系如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根是x1、x2，那么，x1＋x2＝，x1·x2＝。abac例题解析例解方程2320xx解法一（配方法）原方程配方，得041)23(322xx整理得231()24x所以2123x解得1221xx，解法二（因式分解法）原方程可化为0)2)(1(xx所以1221xx，解法三（公式法）2(3)4121213213x解得1221xx，单击鼠标继续1．解方程：（1）x2－5x－6＝0（2）x2－16＋9＝02．若方程9x2＋2mx＋16＝0有两个相等的实数根，那么m_______。3．若方程8x2－(k－1)x＋k－7＝0的一个根是0，则k=___，另一个根是_____。解简单的二元二次方程组二元一次方程组几个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。二元二次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项中，最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程，它的一般形式为：Ax2+bxy+cy2+dx+ey+f＝0二元二次方程组由两个二元方程组成并且其中至少有一个是二元二次方程的方程组叫做二元二次方程组。二元二次方程组的解法由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般可用代入消元法来解。其目的是把二元方程化为一元方程。例题解析例解方程组：解224310210xyxyxy　（1）　　　　　（2）由（2）得（3）12xy把（3）代入（1），得01)12(3)12(422xxxx整理得0823152xx;1,111yx解得128115xx　　　或将x1、x2分别代入（3），求得121115yy　　　或所以，原方程组的解为1111xy22815115xy或单击鼠标继续1．解方程：（1）（2）2．解方程组：（1）（2）3．解方程组：（1）（2）10253xx3423xx--=25328xyxy52253415xyxy221062110xyxxy712xyxy1.3指数与对数的运算指数的运算对数的运算回顾指数的运算有理指数幂这样，我们把整数指数幂的概念推广到了有理指数幂。法则1ap·aq＝ap＋q法则2(aq)p=aq·p法则3(a·b)p＝ap·bp一般地，我们规定（为既约分数，m、n都是正整数）其中，当n为偶数时，a≥0；当n为奇数时，a为任意实数。mnmnaa＝mn负分数指数幂的意义：设a≠0，n、m都是正整数且n＞1，当有意义时，我们规定（为既约分数，m、n都是正整数）nma1mnmnaa-=mn例题解析例1求分数指数幂的值：解1231()0.0014、　。222(2)(2)41(2)22164－（）111(3)3133310.001(10)101010例2求值：63231.512解11111112633636221111111111(1)2336633362211111111332363231.51223()1223(32)(23)2233223222333223236单击鼠标继续1．计算下列有理指数幂的值：2．用计算器计算下列各式的近似值：（精确到0.001）4381523232)001.0(431285711.416对数的运算在代数式ab＝N中有a、b、N三个量，若已知其中两个量，就可以求出第三个量。已知a、b求N是乘方运算；已知b、N，求a是开方运算；已知a、N，求ｂ是什么运算呢？例如：（1）已知2x＝８，求x；（2）已知2x＝５，求x。它们都是已知底数和幂值，求指数的运算。由于23＝８，所以（1）中的x＝３，但（2）中的x是多少呢？要想顺利地解决这个问题，还需要学习新的知识：对数。对数的定义一般地，在式ab＝N（a＞0，a≠1）中，称b为以a为底N的对数。并且把b记为logaN，即logaN＝b其中a称为对数的底数（简称底），N称为真数。由于a＞0，所以ab总是正数，即零