25[1].2圆的对称性

25.2圆的对称性O生活中的圆，你能再举出一些吗?你能讲出几种形成圆的方法？1、在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。一、圆的定义问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？(1)图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新定义：2、所有到定点(圆心O）的距离等于定长（半径r）的点组成的图形。思考：平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，与圆还有几种位置关系？OPOPOP（1）点P在⊙O上（2）点P在⊙O内（3）点P在⊙O外===OP=rOPrOPr⊙O的半径为r二、点与圆的位置关系三、圆的相关概念1、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。直径的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。2、连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB)。3、经过圆心弦叫做直径(如直径AC)。⌒以A、B两点为端点的弧，记作AB,读作“弧AB”。⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB(用两个字母表示)。⌒大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB(用三个字母表示)。ABC同圆中：半径相等，直径等于半径的2倍。4、由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形。ABC如图中弦AB分别与AB及ACB组成两个不同的弓形。能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。CDBA例1、已知，如图，AB、CD为⊙O的直径。求证：AD‖CB。完成练习课本13页练习2,3圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？O你是用什么方法解决上述问题的?圆是中心对称图形吗？如果是,它的对称中心是什么?你又是用什么方法解决这个问题的?四、圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决这个问题.求证：AE=BE●OABCDE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E。∟五、垂径定理AB是⊙O的一条弦,且AE=BE。过点E作直径CD.●OCDEAB垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。探索思考CD⊥AB⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD∟求证例2、如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离。OBAE∟圆心到弦的距离叫做弦心距例3、赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧形,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求桥所在圆的半径。（结果精确到0.1m）解得：R≈27．9（m）DBACR在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADABO解：如图，过拱桥所在圆的圆心O作弦AB的垂线,交AB于点C,交弦AB于点D，则有⌒AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.21、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE练习2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？.ACDBOE证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD∟练习•完成课本16页练习1、3•作业：•课本20页，习题：2、3、4、5、6●OABCDE回顾：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。∟垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。推广：如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.①CD是直径,③AE=BE,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.ABCD└OE3、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直径必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④弦的垂直平分线是圆的直径⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑥在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧⑦分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分练习非直径的弦非直径的弦1、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是.DABO53cm3、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.DCABO4、已知P为O内一点，且OP=2cm，如果O的半径是4cm，那么过P点的最短的弦等于。EDCBAPO134cm25cm2、在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是=，∠OAB的余弦值=。24mm0.6OABD例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAOBAODCDC└└3、如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。练习EDOCABF垂径定理的推论若圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗？这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论——圆的两条平行弦所夹的弧相等.圆的对称性及特性•圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性OA圆心角圆心角——顶点在圆心的角(如∠AOB).如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′,将其中的一个角旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.你能发现那些等量关系?说一说你的理由.BAOA’B’A’DBAOD’B’AB=A′B′⌒⌒AB=A′B′OD=O′D′•如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.A’DBAOD’B’O’A’B’BAOBAO圆心角六、圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理•在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.由条件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′A’DBAOD’B’或DBAOOA’OD’B’O’和拓展与深化•在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件:•①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′①∠AOB=∠A′O′B′A’DBAOD’B’或DBAOOA’OD’B’O’和推论•在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′①∠AOB=∠A′O′B′A’DBAOD’B’或DBAOOA’OD’B’O’和1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距．（1）如果AB=CD，那么___________，_____________，．（2）如果，那么___________，_____________，．（3）如果∠AOB=∠COD，那么__________，_________,．（4）如果OE=OF，那么___________，__________，．CABDEFOOE=OFAB=CD⌒⌒AB=CD⌒⌒AB=CDAB=CDAB=CD⌒⌒AB=CD⌒⌒AB=CDOE=OFOE=OF∠AOB=∠COD∠AOB=∠COD∠AOB=∠COD练习证明：∴AB=AC．又∠ACB=60°∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.ABCO例1、如图,在⊙O中，,∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.AB=CD⌒⌒∵AB=CD⌒⌒例题AOBCDE解：2、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数．⌒⌒⌒⌒⌒⌒∵BC=CD=DE∴∠BOD=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=180°-3×35°=75°练习DCABO3、如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC,求证：AB＝CD。⌒⌒练习