函数图像及其变换

函数图像及其变换函数图像一次函数y＝kx＋b1．几种函数的图像函数图像二次函数y＝ax2＋bx＋c函数图像指数函数y＝ax函数图像对数函数y＝logax基本初等函数及图象（大致图像）函数图像一次函数y=kx+b二次函数y=ax2+bx+c指数函数y=ax对数函数y=logaxy＝f(x＋h)y＝f(mx＋h)②上下平移：y＝――→k＞0时，上移k个单位k＜0时，下移|k|个单位f(x)y＝_______.f(x)＋k(2)伸缩变换①y＝Af(x)(A0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标而得到；②y＝f(ax)(a0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标而得到.A不变不变(3)对称变换①y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于______对称；②y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于_____对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于_____对称；x轴y轴原点(4)翻折变换①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到_________的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得__________的图象．y＝|f(x)|y＝f(|x|)1．f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的()B2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度A3．函数f(x)＝ax－b的图象如右图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0【解析】因图象是递减的，故0a1.又图象是将y＝ax的图象向左平移了，故b0D4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集是________.【解析】由奇函数的图象关于原点对称，画出x∈[-5,0]的图象，可知不等式f(x)0的解集是(-2,0)∪(2,5]．【答案】(-2,0)∪(2,5]作出下列函数的图像..)21()3(;112)2(|);lg|(lg21)1(||xyxxyxxy（1）若函数解析式中含绝对值，可先通过讨论去绝对值，再分段作图.（2）利用图象变换作图.探究提高1.作函数图象的一般步骤为：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数解析式．(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．作出下列函数的大致图像：(1)y＝x3|x|；(2)y＝x＋2x－1；(3)y＝|log2x－1|；(4)y＝2|x－1|.【解析】(1)y＝x2(x＞0)－x2(x＜0)，利用二次函数的图象作出其图象，如图①.(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上及x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x-1|的图象，如图③.(4)先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象，如图④.由图象求解析式如图所示，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数解析式．【思路点拨】分段求函数解析式，再合成分段函数形式，本题分别设为一次函数和二次函数形式，应抓住特殊点(0,2)，(1,1)，(2,2)，(3,1)和(4,2)．答案：所求函数解析式为y＝－x＋2(x＜1)，－x2＋4x－2(1≤x≤3)，x－2(x＞3).由函数图象求其解析式，要注意观察各段函数所属的基本函数模型，常用待定系数法，抓住特殊点，从而确定系数．综合练习（1）设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是（）CB（3）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()B（4）f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点，则a=.解析y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三个不同的交点.如图所示，当a=4时满足条件.4函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果、检验解答是否正确的重要工具，也是运用数形结合思想解题的前提．从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．2．掌握函数作图的两种基本方法：(1)描点法；(2)图象变换法：包括平移变换、对称变换、伸缩变换．3．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．