1.6值域核与不变子空间

§1.6值域、核与不变子空间一、定义和若干性质定义1.2.1(P.23)线性变换的象空间和零空间设线性映射T：VU，值域R(T)=｛：V，=T()｝U核空间N（T）=｛：V，T()=0｝定理1.10N(T),R(T)分别是V,U的子空间基于以上原因，所以T值域又称为T的象子空间，Ｔ的核子空间又称为Ｔ的零子空间.定义1.14设T是线性空间V上的线性变换，R(T)的维数称为T的秩，记为rankT；而N(T)的维数称为T的零度或亏度，记为nullT.T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）定理1.11设T是n维线性空间V上的线性变换，且T在V的一组基下的矩阵是A，则（1）T的值域R(T)是生成的子空间，即（2）T的秩=r(A).12,,,nL12,,,nTTTL12,,,nRTspanTTTL例1.35由例1.31知R3上的投影变换f:(a,b,c)(a,b,0)，在自然基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩阵为由定理1.11知的T秩=2.事实上，由例1.34知：R3上的投影变换f的值域就是xoy平面.000010001A定理1.12设V,U分别是数域P上的n维和m维线性空间，T:VU的线性映射，则DimR(T)+dimN(T)=nmn()|nnRAAxxRorxC()|,0nnNAxxRorxCAx设A为阶矩阵，称为矩阵A的值域；为A的核。dim()RAdim()NAA、称为的秩和零度。dim()dim()dimRTNTVdim()()RArankA（2）推论dim()dim()RANAn（3），n为A的列数。（1）（2）例1.36设在R22上的线性变换定义为求T的值域R(T)及核子空间N(T)基与维数，并问R(T)+N(T)是否是直和？1111A=定理1.13设V,U是有限维线性空间,线性变换T:VU则T是单射当且仅当N（T）={0};T是满射当且仅当R(T)=U.定理1.14设V是n维线性空间,线性变换T：VV则以下条件等价：（1）T是单射；（2）T是满射；（3）T是双射。二、R上线性方程组求解理论设mnAR把A看成RnRm的线性映射xRn,xy=AxRmA=(1,2,…,n)则有定理1.15(1)R(A)=Span{1,2,…,n};(2)dimR(A)=r(A),其中r(A)是A的秩.我们利用线性映射中零空间与值域的概念，来讨论线性方程组的求解问题定理1.16设mnARnbRAxb则（1）线性方程组有解当且仅当dim()dim(,)()(,)RARAborRARAb（2）线性方程组Axb有唯一解当且仅当()(,)dim(),,(){0)RARAbRAnorNA且（3）线性方程组Axb有无穷多解当且仅当()(,)dim()RARAbRArn且推论在上面的定理中，取b=0,则有0Ax0Axdim()RAn（1）线性方程组必有解；（2）线性方程组只有零解当且仅当（3）线性方程组0Ax有无穷多解当且仅当dim()RAn关于矩阵秩的有关结论定理1.17设ARmn,BRnl,则（1）r(AB)=r(B)-dim[N(A)R(B)]（2）r(AB)=r(A)-dim[N(BT)R(AT)]证明：我们定义线性映射C：R(B)R(A),xy=AxR(A)则N(C)=R(B)N(A),R(C)=R(AB).事实上，若xR(B)且Ax=0,则xR(B)N(A),从而N(C)R(B)N(A),反之若xR(B)N(A),则xR(B)且xN(A),所以Ax=0,从而xN(A),故N(C)R(B)N(A),于是N(C)＝R(B)N(A)。又R(C)=A(R(B))=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB)由维数公式知dimR(B)=dimR(C)+dimN(C)=dimR(AB)+dim[N(A)R(B)]也即r(AB)=r(B)-dim[N(A)R(B)]。又由r(BTAT)=r(AB)以及r(B)=r(BT)知r(AB)=r(A)-dim[N(BT)R(AT)]成立。推论Sylverster不等式：min{r(A),r(B)}r(AB)r(A)+r(B)-n其中，n是矩阵A的列数。证明：左边显然成立。对于右边，由于dim[R(B)N(A)≤dimN(A)利用上面的定理则有R(AB)=r(B)-dim[R(B)N(A)r(B)-dimN(A)=r(B)-[n-r(A)]=r(B)+r(A)-n.定理1.18设ARn×n,则下列条件等价1）N(A)=N(A2);2）dimN(A)=dimN(A2);3）r(A)=r(A2);4）R(A)=R(A2);5）N(A)R(A)={0};6）Rn=N(AR(A);7）1000DAPP,其中P是n阶可逆矩阵，D的r阶可逆矩阵，r=r(A).8）A=QA2.定理1.19设ARnn,则以下条件等价：1）A2=A;2）R(A+I)=N(A-I)以及R(A－I)=N(A＋I)；3）r(A+I)+r(A-I)=n;4)Rn=N(A+I)+N(A-I).例1.37平面上全体向量，对如下定义的加法和数乘则R2按照上述定义不构成R上的线性空间。kk例38．设记求证L(A)为R22的线性子空间，并求dimL(A).2001ABAABRBBAL,22例1.39设有R3的两个子空间：分别求子空间W1+W2，W1W2的基与维数.02,,3213211xxxxxxV023,0,,321213212xxxxxxxxV例1.40设W1,W2分别是齐次线性方程组与的解空间，试证明Rn=W1W2.120nxxxL12nxxxL