第二章有限元基本原理

有限元素法第二章有限元法基本原理一.弹性力学基本概念；1弹性力学中的物理量；2弹性力学基本方程；3.虚位移原理；4简化的平面问题。线弹性问题的特征•线性弹性问题的静力分析是力学特性分析中最简单、最基本的形式。•线性是指结构的应力与应变的关系(本构关系)呈线性变化，是一类易于求解的问题，也是非线性问题求解的基础。•弹性是指结构在外力撤除后能够完全恢复原有形状的特性，弹性问题的求解也是塑性问题计算的基础。•静力分析则是指结构所受外力是不随时间变化的恒力，其有关的概念和方法也可推广应用到动态分析。一.弹性力学的物理量——载荷，应力，应变，位移（1）载荷：载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和集中力三种形式。（A）体力是分布于整个弹性体体积内的外力，如重力和惯性力。在弹性体内任一点，单位体积的体力用Pv表示，它可分解为给定坐标系x、y、z三个坐标轴上的投影Pvx、Pvy、Pvz，称为体力分量。（B）面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。在表面上任一点，作用在单位面积上的面力用Ps表示，它在坐标轴上的三个投影psx，,Psy，Psz称为面力分量。面力的矩阵表示为（C）如果外力作用面很小，或者说作用在某一点，则这种外力称为集中力。集中力用Pc表示，它在坐标轴上的分力称为集中力分量。集中力的矩阵表示为1。弹性力学的基本概念一.弹性力学中的物理量——（2）应力•（2）应力；当弹性体受到载荷作用，其内部将产生内力。弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力称为应力(stress)，它反映了内力在截面上的分布密度。•为研究弹性体内某一点的应力，从该点附近切出一个微小的六面体，称为微分体，其棱边分别平行于三个坐标轴，如图右所示。微分体的应力分量微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。垂直于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。弹性力学中的物理量——（2续）应力•根据切应力互等定律，微分体上六个切应力有如下关系：••因此，微分体上只有六个独立应力，即三个正应力σx、σy、σz和三个切应力。这样，应力的矩阵表示为：•某一点在不同方向截面上的应力是不同的，即同一点在不同方向上的应力不同，但任意斜截面上的应力都可通过上述六个应力求出，同时也可求得该点的最大、最小正应力和切应力。也就是说，这六个应力决定了一点的应力状态，所以称之为该点的应力分量。应力分量下标的含义•应力分量的下标表明了应力分量的作用平面和作用方向。•例如：σx表示该正应力分量是在垂直于X轴的面上，沿着X轴方向作用的；•剪应力的两个下标中，前一个表示剪应力作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个下标表明剪应力作用方向沿着哪个坐标轴。•如ζxy表示该剪应力分量是在垂直于X轴的面上、沿着y轴方向作用的。。弹性力学中的物理量——（3）应变•外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及它们之间的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称为正应变(normalstrain)，各棱边之间的直角改变则称为切应变(shearstrain)。正应变用字母ε表示，下角标表示正应变的方向，如εx，为x方向棱边的正应变。正应变以伸长为正，缩短为负。切应变用字母ν表示，两个下角标表示两个方向的棱边，如νyz为y与z两个方向的棱边之间的直角改变。切应变以直角减小为正，增大为负。微分体的应变分量正应变的几何意义剪应变的几何意义弹性力学中的物理量——（4）位移•弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变化，这种位置的改变称为位移(displacement)，用字母d表示。位移可分解为x,y,z三个坐标轴上的投影x、y、z，称为位移分量。沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。位移的矩阵表示为•{d}={uvw}T•弹性体发生形变时，各质点的位移不一定相同，因此位移仍为x,、y、z的函数。由各点位移组成的场通常称为位移场。二.弹性力学基本方程弹性力学基本方程描述弹性体内任意点应力，应变，位移及外力之间的关系。1。平衡方程弹性体内各点的应力状态不一定相同，因此应力分量是坐标x,y,z的函数，如右图所示。弹性体受力以后仍处于平衡状态。根据微元体应力和体力之间的平衡关系，得：而根据力矩平衡得到了剪应力互等的表达式，即有：弹性力学平衡方程的推导（1）力矩的平衡：从受力平衡的弹性体内取一六面微分体,并保持力和力矩的平衡，如右图所示。BCD、ACD、ABD三面上的应力分别为：由，有经过化简得到。同理，根据另外两个轴线的力矩平衡，得（2）力的平衡：再由微分体在三坐标轴方向上力的平衡，可得到前述3个平衡方程。110kkM2222yzyzyzzyzyzydydydxdydydxdzydzdzdxdydzdxdyzyzzy,zxxzxyyxxyzxyyzzx、、、、、弹性力学平衡方程的推导（续）化简，并应用剪应力互等定律加以整理后可得：设作用于六面微元体的“后面”上的正应力为σx，则作用在六面体的“前面”上的正应力较“后面”有一增量，其应力就变为。其他面上应力分量的变化依此类推。同理，对y、z轴同样建立方程，可得前述的三个平衡方程。弹性力学基本方程之二几何方程及推导0u0、v应变是描述物体变形的物理量，分为线应变和剪应变两种。线应变反映长度变化；剪应变反映角度变化。（1）线应变和位移如右图所示，设abcd面受力以后变为a1b1c1d1。a点位移为，b点同理推广到三维的情况，可得0u0、v0,uvudxdxxx0v000xuudxuuuuxdxdxxab沿x轴的线应变为：（2）剪应变和位移下图表示ab和ac转动的角度，则有在小变形的情况下，εx和εy远小于1，可以忽略不计。因而剪应变为；推广到三维有：1、100,11xyuvvdydxdxyxxtgtgudxdydxudxux弹性力学几何方程及推导（续）弹性力学几何方程及推导（续）这样，最后得到如下采用矩阵表达的几何方程：该式说明一点的6个应变分量可以用该点的三个位移分量表示，因而6个应变分量也不独立。弹性力学的基本方程之三物理方程将拉伸推广到三维受力状态，设弹性体受到作用，由力的叠加原理X方向的总相对伸长为：剪应力和剪应变的关系如下：式中G—切变模量将应力和应变关系写在一起，可以得到六个物理方程如下：1231xxxxxyzE21EG由材料力学的知识可知，受拉等截面直杆的应力和应变关系：,,xyz弹性力学基本方程之三物理方程（续）物理方程的表达式为：式中，E为材料的弹性模量，G为剪切弹性模量，为泊松比。从前三式可解出三个正应力，而从后三式，则可以解出三个切应力。弹性力学的基本方程之三物理方程（续）•最后可以得到如下用矩阵形式表达的物理方程：称为弹性矩阵，由弹性模量E和泊松比μ确定，与坐标无关。弹性力学基本方程的求解•由上述，三类基本方程中包括15个方程，含有6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量，因而原则上可以解出这15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分(称为基本未知量)，再通过基本方程求出其他未知量。根据基本未知量的选法不同，也就产生了三种不同的解题方法——位移法、应力法和混合法。•位移法以三个位移分量作为基本未知量，目前有限元法主要采用这种方法。三虚位移原理•变分原理是建立物理问题有限元方程的理论基础，而虚位移原理是能量原理在力学特性分析中的一种具体形式。这是在有限元中建立单元特性方程的一种主要方法。•弹性体的变形与应变能弹性体在受到外载荷作用发生变形的过程中，将克服内力所做的功作为应变能存储在弹性体内部，当外力除去后，应变能做功，使弹性体恢复原来的状态，如弹簧在外力作用除去后恢复原来的状态。这种能量只与加载的起始位置、终止位置有关,而和加载的过程没有关系。1.虚功与虚应变能•（1）外力对弹性体作的功•从弹性体内取出厚度为1的微分体。微分体在水平方向的拉力F作用下发生了位移εxdx,因而拉力所做的功为：•dW=（1/2）(Fεxdx)•由于F=σxdy·1•故dw=（1/2)σxεxdxdy•微分体内的应变能dU为：•dU=dw=(1/2)σxεxdxdy•这样，整个结构的总应变能为：三、虚功与虚应变能（续）如在微分体上还有，根据叠加原理，其体应变能为：写成矩阵形式为：（2）虚位移：虚位移是指约束条件允许范围内弹性体可能发生的任意微小位移。它的发生与时间无关，也与外载无关。弹性体在平衡状态下发生虚位移时，外力要做虚功，其数值为式中，三虚功与虚应变能（续）•在发生虚位移时，弹性体内将产生虚应变，应力在虚应变上所作的虚功即为储存在弹性体的虚应变能，单位体积内的虚应变能为：•因而弹性体内的虚应变能用δU表示为：•式中，V为弹性体的体积。•需要说明的是：由于在平衡状态下发生虚位移时，外载已作用于弹性体，且在位移时，外载与应力均保持不变，属于恒力做功，因而不带1/2因子。虚功与虚应变能（续）•2。虚位移原理•虚位移原理又称虚功原理，它是最基本的能量原理。•对于平衡的弹性体，外力在虚位移上所作的虚功等于弹性体的应力在虚应变上作的虚功（虚应变能）。用公式表达为：•对于虚位移原理，在虚位移发生时，原有的外力，应力,温度及速度等均保持不变。即无热能或动能的改变。•利用虚位移原理，只需要建立一个积分方程即可求解位移，并且可以证明它的极值问题的解和力学微分方程的解是一致的，在满足变形协调方程条件下，两者是等价的。•利用虚位移代替平衡微分方程，由外力求解位移，并通过划分网格，使得每个单元的位移方程相对简单，便于建立、求解。四。两类简化的平面问题1.平面应力问题如果空间物体满足以下两个条件，则该问题可以按平面应力问题考虑。（1）某方向尺寸较另外两方向的尺寸小得多，即近似为一等厚的薄板；（2）受到平行于板面的沿厚度方向均匀分布的面力；根据上述条件，在上图中，图(a)所示的结构属于平面应力问题。而图(b)中结构的载荷与板平面不平行，图(c)中结构的厚度t与截面尺寸差不多，因此不是平面应力问题。一般地，当结构厚度t≤L／15(L为截面特征尺寸)时，结构可作为平面应力问题。如车辆的墙板顶板等受拉压的平板，内燃机的飞轮，链传动的链片以及宽度较小的直齿圆柱齿轮等。（1）平面应力问题（续）可以由和求得，故不属于独立变量，几何方程可以简化为：xyz2101011002ED弹性矩阵D可以简化为平面应力问题由于薄板仅受板面内力，故有如下的应力特点：0zzyzx应变特点为：两类简化平面问题（续）•2.平面应变问题•凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变问题。•(1)几何条件：沿厚度方向的截面形状和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸，即结构呈等截面的细长形。•(2)载荷条件：载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且沿厚度均匀分布，两个端面不受力。由上述条件，图(a)所示的水坝和受内压圆筒属于平面应变问题。而(b)中结构载荷沿厚度方向非均匀分布，(c)中结构的截面形状沿厚度方向不相同，因此不属于平面应变问题。其他如重力坝、轧辊、机床导轨、建筑物的承重大梁等也属于这类问题。（2）平面应变（续）：应力应变的特点在平面应变问题中，沿z轴方向的位移分量W=0，因此由几何方程得知其应变有如下的特点，即：其应力特点为：其弹性矩阵为：0yzzxzxy1011101121120021ED两类简化平面问题的比较•另外，把平面应力问题弹性矩阵中的E换成E／(1—μ2)，μ换成μ（1-μ），则可得平面应变问题的弹性矩阵。五.轴对称问题•当结构同时满足以下三个条件时，可认为是轴对称问题。•(1)几何形状轴对称要求结构是相对对称轴的旋转体；•(2)边界条件轴对称：