高数上册总复习

高等数学A（上）总复习(1)y=f(x)两要素fxD对应法则定义域数列{xn}(2)复合函数:note复合函数分解()()()()yfxuxxfxyfxu设,且的函数值全部或部分在的定义域内,我们得复合函数[()],中间变量.(复合关系搞清,后面求导才不会错)1、函数、数列的概念一、极限与连续（20%左右）：重点：两个重要极限；无穷小的比较；利用等价无穷小替换求极限；求函数的间断点及间断点类型的判别.难点：极限存在的两个准则.(3)y=f(x)的特性：(4)几类函数:2）基本初等函数（note其图形与特性）:幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；3）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数.1）分段函数：不同定义域上用不同的表达式来表示对应法则的函数；1）有界性；2）单调性；3）奇偶性；4）周期性.2、数列极限lim0,,.正整数当时恒有nnnxaNnNxa1)2)3唯一性；有界性；)保号性；4)数列与其子列之间的关系.(3):几何意义,(,).当时落在的邻域内nnNxaUa(2)性质：(1)定义：N3、函数极限(1):定义00lim()0,0,0().当时恒有xxfxAxxfxANote：定义000002)lim()(,)(),(),()与息息相关的是在内的取值与无关甚至在点无定义.xxfxAUxfxfxfxxx3):几何意义00(,),().当时xUxAfxA01),(),是任意的才能使无限趋近当时.fxAxxlim()0,0,().当时恒有xfxAXxXfxA0lim()；xxfx+0lim()；xxfxlim()；xfxAlim().xfxA(2)性质：1)2)3唯一性；局部有界性；)局部保号性；4)函数极限与数列极限的关系；(3)极限与单侧极限：2)lim()lim()lim().xxxfxAfxfxA000lim()()()1)xxfxAfxfxA4、无穷小与无穷大lim()0无穷小；fx(2)两者之间的关系：(1)定义：lim()无穷大（或-，或+）或定义fxMMX10100lim()lim()lim()()lim()；且.fxfxfxfxfx(4)无穷小的性质：(3)无穷小和函数极限的关系：0lim()()(),lim()其中.fxAfxAxx1)有限个无穷小的和也是无穷小.2)无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.3)有限个无穷小的乘积也是无穷小.5、无穷小的比较：设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且0是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小（6）等价无穷小替换定理~,~,lim,limlimlim.设、、、皆为某种极限过程的无穷小，且若存在则也存在，且（Note:只用于乘、除因子,不能用于加、减中!）常用等价无穷小:,0时当xxexxxxxxx~1~)1ln(~arctan~tan~arcsin~sin1)1(x221~cos1xxx~6、极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则.7、两个重要极限或;1sinlim10某过程.)1(lim210e某过程,为某过程中的无穷小0lim某过程8、连续(1)连续的概念(2)间断点的判别、分类第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理;最值定理；零点定理；介值定理函数间断点(3)闭区间上连续函数的性质9、求极限的方法(1):,,:,根据定义定义定义等等.要求推理严密叙述完整.N先判断极限的类别，在考虑适当的方法.(2)根据四则运算法则和复合函数极限运算法则：(3)利用无穷小的性质：(4)初等方法：运用根式有理化、因式分解、变量代换等方法,通过约分,消去不定因式.1230)lim()())lim()()())lim().()；；fxgxABfxgxABfxABgxB004)lim()lim()xxuufxfuA(5)利用函数性质和已知的结果：(6)极限存在准则、两个重要极限1001010010000,lim,.,等mmmnnxnnmaaxaxaanmbbxbxbbnm00000()()lim()()()例如，，；nnmxxmmPxPxQxQxQx(7)等价无穷小、函数的连续性(8)洛必达法则(9)利用定积分的定义二、导数与微分：重点：导数的定义及几何意义；初等函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算；初等函数的微分的计算.难点：n阶导数的计算.第二、三章（35%左右）1、导数和微分的概念（1）导数:（2）微分:（3）关系:可导可微关系)(xodyydxydyydxdy连续（4）几何意义：000000002.,()()(,()),()()()(,())从几何意义上来看是曲线在点处切线的斜率而微分是曲线在点处的切线方程在点的纵坐标增量.fxyfxxfxdyfxxxyfxxfxx,()d()d.无论是自变量还是中间变量函数的微分形式总是xyfxyfxx（5）一阶微分形式不变性：2、导数和微分的求法(1).正确使用导数及微分公式和法则2(i)[()]()[()()]()()[()()]()()()()()()()()()[]()()四则运算求导法则CuxCuxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxvxuxvxvxvx(2).熟练掌握求导方法和技巧1)求分段函数的导数注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等例如,,0,0,)(2xxxxxfsin,0()0,0=xxfxxx111(ii)[()]()(iii)([()])[()]()反函数求导法则：或复合函数求导法则：dyfxdxfydxdyfxfxx(2)隐函数求导法对数求导法(3)参数方程求导法极坐标方程求导转化直接对方程的两端求导数.0()()ln()()(()),特别地，求的导数可对等式两端取对数再利用隐函数求导，或利用复合函数求导法则.vxvxuxyuxuxyye()().多个函数相乘或幂指函数的情形应用对数求导法vxux()()函数，xtytd()d()ytxt)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()(()(1)()()()()(2tttttt(4)复合函数求导法可利用复合函数求导法则或微分形式不变性(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.特别注意抽象复合函数求一阶或高阶导数的情形，见作业中的题目.()()()1)()；nnnuvuv()()2)()nnCuCu()()()(2)(1)3)()2!1nnn-nnnuvuvnuvuv)()()(!)1()1(nkknuvvukknnn)()(0kknnkknvuC莱布尼兹公式nnxnx)1()1()()4()(nnnaxnax)()!1()1()][ln()5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)()(!)1()1(nnnaxnax常用的n阶导数公式高阶导数和下章的泰勒公式结合起来记.三、微分中值定理与导数的应用：重点：利用洛必达法则求极限；求函数的单调区间、曲线的凹凸区间及拐点；求函数的极值及最值；利用单调性证明不等式.（曲率不考）难点：中值定理、泰勒公式的应用；利用单调性结合介值（零点）定理判别函数的零点的个数及范围.拉格朗日中值定理)()(bfaf罗尔定理0)(fxyoab)(xfy)()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10)1(!)1(1))((nnnxxf柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxfnnnxxxf))((00)(!10n1、微分中值定理及其相互关系有关中值问题的解题的关键：利用逆向思维,设辅助函数.微分中值定理的主要应用:研究函数或导数的性态,证明恒等式或不等式,证明有关中值问题的结论.)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax2、洛必达法则注意洛必达法则成立的条件，特别是每次出现的极限都要存在。00型型转化通分00100转化取倒数转化取对数3、导数或微分的应用(1)研究函数的性态:单调，极值（最值），凹凸、拐点，渐近线，（曲率不考）1)可导函数单调性判别(利用一阶导数的符号)Ixxf,0)(f(x)在I上单调递增Ixxf,0)(f(x)在I上单调递减2)连续函数的极值(利用一阶或二阶导数的符号)(i)极值可能点:使导数为0（驻点）或不存在的点(ii)第一充分条件0()过由正变负fxxf(x0)为极大值0()过由负变正fxxf(x0)为极小值(iii)第二充分条件最值点应在极值点和边界点上找,应用题可根据问题的实际意义判别.3)连续函数的最值00()0()0=，fxfxf(x0)为极大值00()0()0=，fxfxf(x0)为极小值3)曲线凹凸与拐点的判别(利用二阶导数的符号)0()0，fxxIf(x)在I上向上凸0()0，fxxIf(x)在I上向上凹拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点4)曲线渐近线的求法水平渐近线：铅直渐近线：斜渐近线：lim(),xfxb0lim(),xxfx)(x或()或x.是水平渐近线yb)(0xx或0()或xx0.是铅直渐近线xx()lim,xfxkxlim()，xbfxkx)(x或)(x或.是斜渐近线ykxb5)函数图形的描绘(3)其他应用：求不定式极限；几何应用；相关变化率；证明不等式；近似计算；研究方程的实根等.(2)解决最值问题目标函数的建立与简化，最值的判别问题四、不定积分：重点：原函数、不定积分的概念；利用换元、分部积分计算不定积分.第四、五章（35%左右）1、原函数、不定积分的概念()d的图形fxx(2)不定积分的几何意义：f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族.30xdd)1(xxfd)()(xf(3)微分与积分之间的关系:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF即下面几个命题等价：2、求不定积分的基本方法（熟记积分公式）1）直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则，求不定积分.2）换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:))(tx3）分部积分法vuxvudxvud一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,前者取为u,排后者取为.v题目类型:分部化简;循环解出;递推公式.4）可化为有理函数的积分有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换Note:上述只是一般方法，不一定是最简便的方法,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.Note:初等函数的原函数