高数同济第六版下高等数学2第十一章答案[1]

1习题11-1对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22xyLeds，其中L为圆周222xya，直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2xyzds，其中为折线ABCD，这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Lyds，其中L为摆线的一拱(sin)xatt，(1cos)yat(02)t.22.有一段铁丝成半圆形22yax，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。解曲线L的参数方程为cos,sin0xaya22sincosdsaadad依题意,xyy，所求质量220sin2LMydsada习题11-2对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxydx，其中L是抛物线2yx上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lxydxxydyxy，其中L为圆周222xya（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdxydyxydz，其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；3（4）dxdyydz，其中为有向闭折线ABCA，这里A、B、C依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lxydxyxdy，其中L是：（1）抛物线2yx上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；4（4）曲线221xtt，21yt上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。3.把对坐标的曲线积分(,)(,)LPxydxQxydy化成对弧长的曲线积分，其中L为：（1）在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；（2）沿抛物线2yx从点(0,0)到点(1,1)；（3）沿上半圆周222xyx从点(0,0)到点(1,1).54.设为曲线xt，2yt，3zt上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分LPdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分。习题11-3格林公式及其应用1.利用曲线积分，求星形线3cosxat，3sinyat所围成的图形的面积。2.计算曲线积分222()Lydxxdyxy，其中L为圆周22(1)2xy，L的方向为逆时针方向。63.证明曲线积分(2,1)423(1,0)(23)(4)xyydxxxydy在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值。.4.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）(24)(536)Lxydxyxdy，其中L为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；（2）22()(sin)Lxydxxydy，其中L是在圆周22yxx上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。75.验证下列(,)(,)PxydxQxydy在整个xOy平面内是某一函数(,)uxy的全微分，并求这样的一个(,)uxy：（1）22xydxxdy；（2）22(2coscos)(2sinsin)xyyxdxyxxydy86.计算224(2)()Lxxydxxydy，其中L为由点0,0O到点1,1B的曲线弧sin2xy解2,2PQPQxxyxyx原积分与路径无关，1,0A故原式2242OAABxxydxxydy11240023115xdxydy习题11-4对面积的曲面积分1.计算曲面积分3zdS，其中为抛物面222()zxy在xOy面上方的部分。3=zdS22223[2()]14xyDxyxydxdy2222003214dd9122222016[914]141432d3522222032[61414]1653532111[63131]165102.计算下列对面积的曲面积分：（1）4(2)3zxydS，其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分；（2）()xyzdS，其中为球面2222xyza上zh(0)ha的部分；3.求抛物面壳221()2zxy(01)z的质量，此壳的面密度为z.104.计算22()xydS，其中为锥面22zxy及平面1z所围成的区域的整个边界曲面。解12，221:zxy，在1上，221xydszzdxdy，1在xoy面的投影为22:1xyDxy在2上，dsdxdy，2在xoy面的投影为22:1xyDxy2222222xyxyDDxydsxydxdyxydxdy2120021212drrdr习题11-5对坐标的曲面积分1.计算下列对坐标的曲面积分：（1）22xyzdxdy，其中为球面2222xyzR的下半部分的下侧.11（2）[(,,)][2(,,)][(,,)]fxyzxdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy，其中(,,)fxyz为连续函数，是平面1xyz在第四卦限部分的上侧；2.把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy化成对面积的曲面积分，其中（1）是平面32236xyz在第一卦限的部分的上侧；12（2）是抛物面228()zxy在xOy面上方的部分的上侧；习题11-6高斯公式1.利用高斯公式计算曲面积分：（1）222xdydzydzdxzdxdy，其中为平面0x，0y，0z，xa，ya，za所围成的立体的表面的外侧.（2）xdydzydzdxzdxdy，其中是界于0z和3z之间的圆柱体229xy的整个表面的外侧；13（3）24xzdydzydzdxyzdxdy，其中为平面0x，0y，0z，1x，1y，1z所围成的立方体的全表面的外侧；2.计算曲面积分2Izxdydzzdxdy，其中是曲面2201zxyz的外侧.解添加平面221:11zxy，取上侧，使1构成封闭，应用高斯公式地211211002132xyrDIdvdxdydrdrdz习题11-7斯托克斯公式1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：（1）ydxzdyxdz，其中为圆周2222xyza，0xyz，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；（2）23ydxxzdyyzdz，其中为圆周222xyz，2z，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；14（3）223ydxxdyzdz，其中为圆周2229xyz，0z，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；复习题十一1.计算下列曲线积分：（1）22Lxyds，其中L为圆周22xyax；（2）(2)Laydxxdy，其中L为摆线(sin)xatt，(1cos)yat上对应t从0到2的一段弧；15（3）(sin2)(cos2)xxLeyydxeydy，其中L为上半圆周222()xaya，0y沿逆时针方向；2.计算下列曲面积分：（1）222dSxyz，其中是界于平面0z及zH之间的圆柱面222xyR；16（2）222()()()yzdydzzxdzdxxydxdy，其中为锥面22zxy(0)zh的外侧.（3）xdydzydzdxzdxdy，其中为半球面222zRxy上侧.173.证明：22xdxydyxy在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。4.计算曲线积分22()()Lxydxxydyxy，其中L是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。解法一2222,xyxyPQxyxy222222()QPyxxyxyxy在L内作一圆：221xy，方向逆时针由格林公式有22Lxdyydxxy=22xdyydxxy：cossinxtyt22222220()()cossin2cossinLxydxxydyttdtxytt法二:由参数法将得积分代入四部分之和