高数微积分极值与最值

1第八节多元函数的极值与最值2实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？xyyx4570yx7680每天的收益为),(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出3二、多元函数的极值的图形观察二元函数22yxexyz4设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.5例1处有极小值．在函数)0,0(22yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz6定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2、多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,证:故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.7推广:如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.但不是极值点.驻点极值点(具有偏导数的函数)例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，8偏导数不存在的点也可能是函数的极值点。例如：不存在。也不存在，所以，与一元类似要想研究极值需找出所有驻点导数不存在的点。温馨提示：但是极大值点。问题：如何判定一个驻点是否为极值点？9定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00,Byxfxy),(00,Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．10对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:11例4求由方程yxzyx222220104z确定的函数),(yxfz的极值将方程两边分别对yx,求偏导0422204222yyxxzzzyzzzx由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(P,将上方程组再分别对yx,求偏导数,解12,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx故)2(0)2(122zzBAC,函数在P有极值.将)1,1(P代入原方程,有6,221zz,当21z时，041A,所以2)1,1(fz为极小值；当62z时，041A,所以6)1,1(fz为极大值.13求函数),(yxfz极值的一般步骤：(偏导存在条件下)第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.14实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．xyyxyxUlnln),(问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx三、条件极值、拉格朗日乘数法15条件极值：对自变量有附加条件的极值．解决办法：（1）化为无条件极值（用代入法）（2）直接求极值。（拉格朗日乘数法）无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外，并无其他条件.16一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)下的极值在条件0),(yx其几何意义是),(0),(:00yxyxL上求一点在曲线),(),(00yxfyxf使),(),(00yxfyxf或其中点(x,y)在曲线L上17假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,y0)的某个邻域内连续yx,且不同时为0f(x,y)可微0y不妨设0),(yx于是确定了一个隐函数y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取得极值故0Pdxdz即0)(),(),(0000xyyxfyxfyx又由隐函数的微分法知),(),(0000yxyxdxdyyxP18代入上式0),(),(),(),(000000yxyxyxfyxfxyyoox令),(),(0000yxyxfyy得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为0),(0),(),(0),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxx19拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.20xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.21拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出tzyx,,,，即得极值点的坐标.22例5求内接于椭球1222222czbyax的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz022axyzFx022byxzFy022czxyFz1222222czbyax)1(222222czbyaxxyzF令2323xyz解得3,3,3czbyax22axyz22byxz或两式相除222222byaxyaxbxy同理2222czax即222222czbyax代入解得3,3,3czbyax三式分别乘以x,y,z后相加得24解二任意固定z0(0z0c)先在所有高为2z0的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆边平行于x,y轴的长方形当长方形的边长分别为2202201222,1222czbcza（一元函数极值问题）02220222202111zzczbyczax25长方形面积最大得到高为2z0的长方体中最大体积为02200)1(4)(zczabzV)31(4)(2200czabzV30czV(z0)最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为)3,3,3(cba解三作变换czZbyYaxX,,问题变成在1222ZYX下求XYZ的最大值易知为立方体31ZYX3,3,3czbyax26解四即求222222czbyax的最大值而此三个正数的和一定（=1）当31222222czbyax积最大3,3,3czbyax27将给定的正数m分成三个非负数x,y,z之和最大使cbazyx其中a,b,c为给定的正数例6解令D为平面x+y+z=m在第一卦限的部分cbazyxuDzyx),,(由于在D的边界上，总有u=0而在D内有u0且u在D上连续，故必存在最大值，且一定在D内取得另一方面由于u和lnu在D内有相同的极值点故问题转化为求lnu在条件x+y+z=m下的极值。28令)(lnmzyxuF)(lnlnlnmzyxzcybxa则0xaFx0ybFy0zcFz与x+y+z=m联立解得cbacmzcbabmycbaamx,,cbacbacbacbamcbau)(max29拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出tzyx,,,，即得极值点的坐标.注:拉格朗日函数分别对各自变量及拉格朗日乘数求偏导数，并令其为零。30有界闭区域上连续函数求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点和不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.四、多元函数的最值、31求最值步骤：1、求D内驻点和不可导点。2、求边界上的条件极值点（用代入法或拉格朗日乘数法）3、求边界的边界上的最值疑点。4、计算这些点的函数值，比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值。32例7求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD如图,33解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6有)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(fxyo6yxD比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.34例8求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解由35即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.因为01lim22yxyxyx3622220t0s220t0s22tststsstlim1)t1()s1(t1s1lim1limyxyxyx0ts2stts2sttssttststsst022222237注：要求函数在D上的最大值和最小值往往相当复杂，在通