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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A4.1.1常数项级数4.1.2常数项级数的基本性质收敛的必要条件4.1.3正项级数及其收敛性4.1正项级数第4章无穷级数4.1正项级数4.1.3正项级数及其收敛性4.1.1常数项级数的概念常数项级数与正项级数例题10-114.1.2常数项级数的基本性质小结级数的概念级数的收敛与发散例题1-4性质1~5例题5-9比较法比较法的极限形式比值法根值法例题12例题13例题14注解讲解例题思考题一、问题的提出n10310003100310333333.031.,其结果是一个确定的数即这无穷多个数相加10,(1)11(1)1(1)1,nnnn当为偶数又当为奇数,即这无穷多个数相加其结果不是一个确定的数。4.1正项级数:再看一个例子1111111(1)()()()223341nn原式,?这无穷多个数相加其结果多少,212111s311)3121()211(2s111nsn,,)1(1321211)1(11nnnnn1.级数的定义:nnnuuuuu3211(常数项)无穷级数.一般项部分和数列niinnuuuus121级数的部分和,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus.不存在的极限可能存在也可能显然部分和数列ns4.1.1常数项级数的概念.,1数则称该级数为常数项级均为常数的每一项若级数nnnuu.)(),(:1数项级数为函则称级数函数一个变量的若级数的每一项均为同nnnnxuxuu下列各式均为常数项级数;214121211nnn;211nnn;)1(1111)1(111nnn.cos2cos1coscos1nnn例1下列各式均为函数项级数,)1(1)1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa.1||x,sin2sinsinsin1nxxxnxn.Rx例211,:(1)?(2),?nnnnuu讨论无穷级数关心两个问题是否收敛若收敛和为多少.1收敛的方法下面我们讨论判断级数nnu方法一:利用部分和数列的敛散性判断2.级数的收敛与发散:无穷级数1nnu的前n项之和：,211nnkknuuuuS称为级数的部分和。若SSnnlim存在,则称级数1nnu收敛。S称为级数的和：.1Sunn若nnSlim不存在(包括为),1nnu发散.则称级数例3讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1,11qaqqan,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn发散aaaa级数变为不存在nnslim发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn要记住例4判别无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.解)12)(12(1nnun),121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn)1211(21limlimnsnnn),1211(21n,21.21,和为级数收敛P3493,4习题21)12)(12(1751531311nn利用部分和数列的敛散性判断无穷级数的敛散性,由于一般不易求得数列和,此法应用范围较小。下面给出利用级数性质判断的方法。余项nnssr21nnuu1iinu即ssn误差为nr)0lim(nnr常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)4.1.1常数项级数的概念常数项级数概念---例题例1.)2)(1(1,,,330sunnssunnn与中的写出的意义及它们的关系试述例2.)12)(12(11的敛散性判别级数nnn例3.)0(20的收敛性aaqaqaqaaqnnn讨论等比级数(几何级数)例4.)1(1的敛散性判别级数nnn例1.)2)(1(1,,,330sunnssunnn与中的写出的意义及它们的关系试述解,limssnn.1nnnssu,4313u.4313212113s常数项级数---例题解答例2.)12)(12(11的敛散性判别级数nnn解)12)(12(1nnun),121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn)1211(21limlimnsnnn)1211(21n,21.21,和为级数收敛常数项级数---例题解答例3.)0(20的收敛性aaqaqaqaaqnnn讨论等比级数(几何级数)解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1,11qaqqan,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim级数收敛级数发散常数项级数---例题解答时如果1q,1时当q,1时当qnasn级数发散aaaa级数变为不存在nnslim级数发散综上所述.,11,110发散时当收敛于时当qqaqaqnn常数项级数---例题解答例4.)1(1的敛散性判别级数nnn解)1()23()12(nnsn11n)11(limlimnsnnn.原级数发散注意:.)1(11不同与niinnuu.lim)2(1是否存在有关是否收敛与nnnnsu.,)3(1的近似值是收敛若ssunnn常数项级数---例题解答性质1.)(.)(,111111nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且也收敛则都收敛与若级数结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质2..,1111nnnnnnnnukkukuu且也收敛则收敛若级数结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.4.1.2常数项级数的基本性质性质3.).1(,11且其逆亦真也收敛则收敛若级数kuuknnnn证nkkknuuu21,kknssknknnnnsslimlimlim则.kss类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.结论:在级数的前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.但在收敛时，一般说来级数的和会改变.4.1.2常数项级数的基本性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的级数.证)()(54321uuuuu,21s.limlimssnnmm则,52s,93s,,nms4.1.2常数项级数的基本性质注意:(1)发散级数加括弧后所成的级数不一定发散.1111例如发散)11()11(收敛(2)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.(3)如果加括弧后所成的级数收敛,则原来级数不一定收敛.(4)如果级数各项为正，则原级数与加括弧后所成的级数的收敛性相同.4.1.2常数项级数的基本性质特别注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如1111推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.收敛发散在级数运算中,不能随意加上或去掉括号,因为这样做可能改变级数的敛散性.例.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.性质5.0lim,1nnnnuu则收敛若级数级数收敛的必要条件证,limssnn,1nnnssu且1limlimlimnnnnnnssu0ss注意:.,0lim)1(1发散则若nnnnuu判别级数发散的充分条件.,0lim)2(1不一定收敛则若nnnnuu4.1.2常数项级数的基本性质由于,11)1(lim||lim1nnunnnn故该级数发散.,0limnnu解.1)1(11的敛散性判别级数nnnn例注意：必要条件不充分！.,0lim但级数发散有nnun131211例如调和级数例5判别级数的敛散性：).(11调和级数nn例6.615100收敛证明级数nnn例7.3251的敛散性判别级数nnn例9:,1下列级数是否收敛收敛设nnu.1)3(;)2(;)0001.0()1(1110001nnnnnnuuu例8.101212014110121的敛散性判别级数nn常数项级数的基本性质---例题例5判别级数的敛散性：).(11调和级数nn解?,0lim但级数是否收敛在调和级数中有nnu)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项项m221每项均大于21)1(1mm项大于即前.新级数发散由性质4推论,调和级数发散.常数项级数的基本性质---例题解答例6.615100收敛证明级数nnn证00)61()65(1061510nnnnnn,)61()65(1000收敛与而nnnn由级数性质可知原级数收敛.例7.3251的敛散性判别级数nnn解,025325limnnn所以原级数发散.常数项级数的基本性质---例题解答例8.101212014110121的敛散性判别级数nn解1)10121(101212014110121nnnnn,211收敛又nn,1011发散nn由级数性质可知原级数发散.常数项级数的基本性质---例题解答例9:,1下列级数是否收敛收敛设nnu.1)3(;)2(;)0001.0()1(1110001nnnnnnuuu解,00001.0)0001.0(lim)1(nnu.)0001.0(1发散nnu,)2(111000同时敛散与nnnnuu.11000收敛nnu,1lim)3(nnu.11发散nnu常数项级数的基本性质---例题解答4.1.3正项级数及其审敛法1.定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数..,01散性与正项级数有相同的敛则级数如果nnnuunsss21对于正项级数有部分和数列为单调增加数列.}{ns2.正项级数收敛的充要条件:定理1.有界收敛nnnnsuu)0(1正项级数的部分和数列是单调增加的单调有界的数列必有极限在某极限过程中有极限的量必界级数是否收敛？