5-3定积分的换元法和分布积分法

第三节定积分的换元法和分部积分法•一、定积分的换元法•二、分部积分法•三、小结定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、定积分的换元法证设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba)],([)(tFtdtdxdxdFt)()()(txf),()]([ttf),()()()]([dtttf)(t是)()]([ttf的一个原函数.a)(、b)(,)()()]([)]([FF),()(aFbF)()()(aFbFdxxfba)()(.)()]([dtttf注意当时，换元公式仍成立.应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.例1计算.sincos205xdxx解令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt例2计算解.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54例3计算解.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.6例4计算解aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4例5当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0奇函数例6计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积例7若)(xf在]1,0[上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算02cos1sindxxxx.证（1）设tx2,dtdx0x,2t2x,0t20)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxf（2）设tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft0)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(20)(sindxxxf设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv二、分部积分公式例8计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则例9计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln8例10计算解.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35例11设求解21,sin)(xdtttxf.)(10dxxxf因为ttsin没有初等形式的原函数，无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法10)(dxxxf102)()(21xdxf102)(21xfx102)(21xdfx)1(21f102)(21dxxfx21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf10)(dxxxf)1(21f102)(21dxxfx102sin221dxxx1022sin21dxx102cos21x).11(cos21,0sin)1(11dtttf例12证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数证设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxvdxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossinx2sin10dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法dxxfba)(dtttf)()]([三、小结定积分的分部积分公式.bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题1指出求2221xxdx的解法中的错误，并写出正确的解法.解令,sectx,4332:t,sectantdttdx2221xxdxtdtttttansectansec14332dt4332.12思考题1解答计算中第二步是错误的.txsec,43,32t,0tant.tantan12ttx正确解法是2221xxdxtxsectdtttttansectansec14332dt4332.12思考题2设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.思考题2解答10)2(dxxfx10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.2一、填空题：1、3)3sin(dxx___________________；2、03)sin1(d________________；3、2022dxx_____________；4、2121221)(arcsindxxx___________；5、55242312sindxxxxx________________________..练习题1二、计算下列定积分：1、203cossind；2、31221xxdx；3、14311xdx；4、223coscosdxxx；5、02cos1dxx；6、224cos4dx；7、112322)11(dxxxxx；8、203},max{dxxx；9、20dxxx（为参数）.三、设时，当时，当0,110,11)(xexxxfx求20)1(dxxf.四、设baxf,)(在上连续，证明babadxxbafdxxf)()(.五、证明：101`0)1()1(dxxxdxxxmnnm.六、证明：aaadxxfxfdxxf0)]()([)(,并求44sin1xdx.七、设1,0)(在xf上连续，证明2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题1答案一、1、0；2、34；3、2；4、323；5、0.二、1、41；2、3322；3、2ln21；4、34；5、22；6、23；7、4；8、8；9、417；10、时当0,238；当20时,32383；当2时,238.三、)1ln(11e.六、2.一、填空题：1、设n为正奇数，则20sinxdxn___________；2、设n为正偶数，则20cosxdxn=___________；3、dxxex10______________；4、exdxx1ln_____________；5、10arctanxdxx____________.二、计算下列定积分：1、edxx1)sin(ln；2、eedxx1ln；练习题23、0sin)(xdxxmJm，（m为自然数）4、01)1cos(sinxdxnxn.三、已知xxf2tan)(,求40)()(dxxfxf.四、若,0)(在xf连续，,1)(,2)0(