大学物理(华中科技版)第10章习题解答

第10章静电场中的导体和电介质习题解答10－1点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内、外半径分别为1R和2R。试求：（1）1Rr；（2）21RrR；（3）2Rr三个区域的电场强度和电势。r为观察点到q的距离。解：由高斯定理S0EqSd得（1）当1Rr时，2014rqE1120012111,()44qqEVrrRR当21RrR时，02E22020,4qEVR当2Rr时，2034rqE33200,44qqEVrr（2）当1Rr时，)111(421032112211RRrqrdErdErdEVRRRRRr当21RrR时，RRRrRqrdErdEV22203224当2Rr时，RrrqrdEV033410－2一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则习题10－2图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）解：过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q。根据高斯定理可得E4πr2=q/ε0可得P点的电场强度为204qEr当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q。用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和。A球是一个等势体，其电势等于球心的电势。A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为04cqUrBoAPrArCrB10－3同轴电缆是由半径为R1的直导线和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？该圆柱面上任一点的场强为多少？解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即Φd=q=λl。设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2。通过高斯面的电位移通量为ddSDSÑ012ddd2SSSrlDDSDSDS可得电位移为D=λ/2πr其方向垂直中心轴向外。电场强度为E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr方向也垂直中心轴向外。10－4如习题10－4图所示，金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？解：点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a。外壳上就有电荷q+Q，距离球为b。球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为000111444oqqQqUrab10－5如习题10－5图所示，三块平行金属板A、B和C，面积都是S=100cm2，A、B相距d1=2mm，A、C相距d2=4mm，B、C接地，A板带有正电荷q=3×10-8C，忽略边缘效应．求（1）B、C板上的电荷为多少？（2）A板电势为多少？解：(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1=σ1S和q2=σ2S在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S①A、B间的场强为E1=σ1/ε0A、C间的场强为E2=σ2/ε0设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU=E1d1=E2d2，②即σ1d1=σ2d2．③解联立方程①和③得qobarqABCDS1S2S0rR2R1εrlσ1=qd2/S(d1+d2)所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C)q2=q-q1=1×10-8(C)B、C板上的电荷分别为qB=-q1=-2×10-8(C)qC=-q2=-1×10-8(C)(2)两板电势差为ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε0S(d1+d2)由于k=9×109=1/4πε0所以ε0=10-9/36π因此ΔU=144π=452.4(V)由于B板和C板的电势为零，所以UA=ΔU=452.4(V)10－6一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如习题10－6图所示。则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？解：由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1+q2=0①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S它们产生的场强大小分别为E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1-E2–E=0即σ1-σ2–σ=0或者说q1-q2+q=0②解得电量分别为q2=q/2，q1=-q2=-q/210－7如习题10－7图所示，两平行金属板带有等量异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求两个金属板的四个表面的电荷面密度各为多少？解：由于左板接地，所以σ1=0由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4=0由于两板带等量异号的电荷，所以σ2=-σ3两板之间的场强为E=σ3/ε0而E=U/d所以面电荷密度分别为Pq1q2ABqσ2σ1σ4σ3σ3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m-2)σ2=-σ3=-8.84×10-7(C·m-2)10－8一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远。将内球壳用细导线接地。试证：球面间电容可用公式202214RCRR表示。（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径RR2）证明方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为1210012211441/1/RRCRRRR外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为2023141/1/CRR外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2=4πε0R2．并联电容为12120022144RRCCCRRR202214RRR．方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`。内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果。由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为0201`044qqRR因此感应电荷为12`RqqR根据高斯定理可得两球壳之间的场强为122002`44RqqErRr负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为oR2R1R31122ddRRRRUErEl121202()d4RRRqrRr1212021202()11()44RqRRqRRRR球面间的电容为202214RqCURR10－9如习题10－9图所示，球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半为真空，另一半充满相对介电常数为εr的均匀电介质，求该电容器的电容。解：球形电容器的电容为120012211441/1/RRCRRRR对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半。0121212RRCRR当电容器中充满介质时，电容为0122212rRRCRR由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联01212212(1)rRRCCCRR10－10如习题10－10图所示，板面积为S的平行板电容器，板间有两层介质，介电常数分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求该电容器的电容。解：假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2总电容的倒数为122112121212111ddddCCCSSS总电容为122112SCddoR2R1εrd2ε1ε2d110－11圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其间充满了介电常数为ε的介质，其长为l。沿轴线单位长度上的导线和圆筒分别带电λ和-λ，略去边缘效应。求：（1）两极板间的电势差U；（2）介质中的电场强度E和电位移D；（3）电容C。解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2。通过高斯面的电位移通量为SdSdD012ddd2SSSrlDDSDSDS高斯面包围的自由电荷为q=λl根据介质中的高斯定理Φd=q可得电位为D=λ/2πr方向垂直中心轴向外。电场强度为E=D/ε=λ/2πεr，方向也垂直中心轴向外。取一条电力线为积分路径，电势差为21ddd2RLLRUErrrEl21ln2RR电容为212ln(/)qlCURR在真空时的电容为00212ln(/)lqCURR所以倍数为C/C0=ε/ε0。10－12在半径为R1的金属球外有一层相对介电常数为εr的均匀介质，介质层的内、外半径分别为1R和R2。设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度。解：（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的。在内外半径之间DS1S2S0rR2R1εl作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为SdSdD＝DrDdSS24高斯面包围的自由电荷为q=Q0根据介质中的高斯定理Φd=q可得电位为D=Q0/4πr2方向沿着径向，用矢量表示为D=Q0r/4πr3电场强度为E=D/ε0εr=Q0r/4πε0εrr3方向沿着径向。由于D=ε0E+P所以P=D-ε0E=031(1)4rQrr在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr=1的介质处理，所以D=Q0r/4πr3，E=Q0r/4πε0r3，P=0。（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为E0=Q0r/4πε0r3极化电荷q1`产生的场强为E`=q1`r/4πε0r3总场强为E=Q0r/4πε0εrr3由于E=E0+E`解得极化电荷为`101(1)rqQ介质层内表面的极化电荷面密度为``01122111(1)44rQqRR在介质层外表面，极化电荷为``21qq面密度为``02222221(1)44rQqRR10－13两个电容器电容之比C1:C2=1:2，把它们串联后接到电源上充电，它们的静电能之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？解：两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W=Q2/2C，得静电能之比为W1:W2=C2:C1=2:1两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W=CU2/2，得静电能之比为W1:W2=C1:C2=1:210－14一平行板电容器的极板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U。将一块厚度为d、相对介电常数为εr的均匀电介质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？解：平行板电容器的电容为C=ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C1=ε0S/2d另一半插入电介质时，电容为C2=ε0εrS/2d两个电容器并联，总电容为C=C1+C2=(1+εr)ε0S/2d静电能为W=CU2/2=(1+εr)ε0SU2/4d10－15一平行板电容器的极板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着。若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一