Banach压缩映照原理.

Banach压缩映照原理及其应用多媒体课件主讲教师：何中全教学单位：数学与信息学院西华师范大学二00八年三月本节主要教学内容1.问题的提出2.压缩映照及Banach逐次迭代法3.Banach压缩映照原理4.Banach压缩映照原理的应用5.思考问题6.习题配备7.致谢1.问题的提出不动点的概念的一个不动点.是则称.使得,如果存在,是度量空间,设TxxTxXxXT:XX把一些方程的求解问题转化为求映照的不动点,以及用逐次逼近法来求不动点,这是代数方程,微分方程,积分方程,泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法.(1)运用泛函分析研究方程解的近似方法以及映照不动点的存在性研究,自Banach以后取得了不少的重要进展,甚至成为非线性泛函分析的主要研究内容.1922年Banach把这个方法的基本点提炼出来,用压缩映照的概念更一般地描述了这个方法.逐次逼近方法最早可以追溯到艾萨克·牛顿求代数方程根时所用的切线法,后来Picard用逐次逼近法来求解微分方程.逐次逼近方法(2)2.压缩映照及Banach逐次迭代法压缩映照是压缩映照.则称1,成立,使得对所有的,,一个数如果存在中的映照,到是是度量空间,设定义1Tx,yαdTx,TydXx,yααXXTX10Banach逐次迭代法代法.为Banach逐次迭这种构造序列的方法称称为迭代序列..,设nnnx,Tx,x,TxxXx1010(3)3.Banach压缩映照原理有且只有一个不动点.那末上的压缩映照,是是完备的度量空间,设原理Banach压缩映照TXTX定理1证明不动点的唯一性.利用压缩性质,唯一性点需要证明只有一个不动2的不动点.是的连续性可知由;敛于收证明;法给出的近似解序列运用Banach迭代存在性需要证明有一个不动点1TxTxxxnn(4)证明思路：存在性的证明证明.,,中任意一点.令是设10100nnTx,x,TxxXxXx.中的Cauchy点列是我们证明Xxn111mmmmmm,xxαd,TxTxd,xxd事实上,21221mmmm,xxdα,TxTxαd2.01,xxdαmnnmmmmnm,xxd,xxd,xxd,xxdmn1211时,当由三点不等式,011,xxdαααmm(5).0111,xxdαααmnm3.101mn,xxdαα,xxdmnm于是得到,所以,因1110mnαα我们有,1件又由三点不等式和条,使得,存在完备性,列.由中Cauchy点是即,时,,所以当xxXxXXx,xxdnmmnnm0,TxTxdx,xd,Txxdx,xdx,Txdmmmm1(6).,xxαdx,xdmm1.即,所以,时趋于上面不等式右端当Txxx,Txdm00(7)存在性证毕.唯一性的证明,1.则由条件使,如果存在yx,TyTxXx,y,x,ydTx,Tydx,yd.即,所以必须,因yxx,ydα01唯一性证毕.(8)4．Banach压缩映照原理的应用.,:作为解上必有唯一的连续函数在区间则方程,,满足和数.如果还存在常的偏导数且处处有关于中处处连续,在带状域设函数a,bxxx,fxya,bx,yfMmMx,yfmMmx,yfyyb,xax,yfyy000定理2(9)题得解.由定理1此问是压缩映照,使选取恰当的常数3.这里上的不动点.在,即求,使,问题等价于求此,使得,,求2是非零常数.这里,使得,,题等价于求，此问使得,证明存在1TKxx,KfxxTa,bCa,bCa,bT:CxxTa,bCxxxx,Kfxa,bCxKxxx,Kfxa,bCxxx,fa,bCx,0(10)证明思路：有,使对任意的函数,中作映照在完备空间a,bCxTa,bC证明.xx,fMxxT1到自身的映照.是.所以即也连续,故是连续的,按照定理条件,a,bCTa,bCTxTx,yf.满足存在分中值定理,根据微,ba,是压缩映照.任取现证明12121122110xxxxθxx,fxx,fxx,fθC,Ty(11)xTxT12从而有xx,fMxxx,fMx112211xx,fxx,fMxx12121(12)12121121xxxxθxx,fMxxyxθxx,fMxxy211211.Mmxx112且,则有,令,由于101110αMmαMm.1212,αd,TTd(13),即,满足存在唯一的,是压缩映照.由定理1因此,xx,fMxxTa,bCT1.0bx,axx,f于是有定理证毕.(14)的误差估计式.逼近解式给出了用44,则有,令中,3.在则解,令,即只要任取法,而且也提供了求解的方和唯一性,解的存在性了方程压缩映照原理不仅证明xx,xxdαα,xxdnxxxTxTTxxXxxTxnmmnnnnnn10022101lim:评注(15):思考问题;的不动点吗？这里是吗？的不动点是的不动点.是是压缩映照,如果1NkTxTTTxTxTk(16)它们有何关系？的不动点,都是如果2Tx,Tx,Tx,k本课习题:P20717,18,19.(17)ClassOverThanks!