随机变量方差的概念

1.随机变量方差的概念2.重要分布的方差4.小结3.2方差3.方差的性质(1)概念的引入1.随机变量方差的概念上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近a又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的方差).(,)(}.)]({[)Var()(,)Var()(,}])({[,})]({[,222XσXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为为标准差或均方差称即或记为的方差为则称存在若是一个随机变量设(2)方差的定义(2)由于标准差与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.说明(1)方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，方差越小，X的取值集中在均值的附近；方差越大，X的取值越分散．离散型随机变量的方差,)]([)(12kkkpXExXD连续型随机变量的方差,d)()]([)(2xxfXExXD(3)方差的计算1)利用定义计算.)(的概率密度为其中Xxf.,2,1,}{的分布律是其中XkpxXPkk.)]([)()(22XEXEXD证明})]({[)(2XEXEXD})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE2)利用公式计算例1设随机变量X具有数学期望E(X)=，方差0)(2XD，记,XY)()(XEYE])[(2XE])[(122XE).()(YDYE和求解称Ｙ为Ｘ的标准化变量．22)]([)()(YEYEYD122])([1XE0例2以X表示在一天的某一时间段中乘小汽车通过某一个十字街口的乘客（包括司机在内）的人数。已知X的分布律为Xkp12345670.520.270.110.050.020.020.01求数学期望E(X)，方差D(X)以及标准差.)(XD)(88.101.0702.0602.0505.0411.0327.0252.01人1)(kkkpxXE122)(kkkpxXE1.501.0702.0602.0505.0411.0327.0252.012224222解故22)]([)()(YEYEYD)(566.188.11.522人)(25.1566.1)(人YD).(.,0,10,1,01,1)(XDxxxxxfX求其他具有概率密度设随机变量解1001d)1(d)1(xxxxxx,0例3xxfxXEd)()(22,61于是22)]([)()(XEXEXD2061.61xxxfXEd)()(102012d)1(d)1(xxxxxx(1)(0-1)分布ppXE1)1(0)(Xp10pp1已知随机变量X的分布律为则有22)]([)()(XEXEXD2221)1(0pppp).1(pp2.重要分布的方差).1()10(ppp和为分布的期望和方差分别(2)泊松分布.0,,2,1,0,e!}{kkkXPk)(XE由于且分布律为设),(π~X])1([)(2XXXEXE且)()]1([XEXXE0e!)1(kkkkk222)!2(ekkkee2.2所以22)]([)()(XEXEXD22..均为泊松分布的期望和方差(3)均匀分布2)(baXE由于.,0,,1)(其他bxaabxf其概率密度为设,),(~baUX22)]([)()(XEXEXD所以222d1baxabxba.12)(2ab12)(2ab(4)指数分布.0.0,0,0,e1)(,θxxθxfXθx其中其概率密度为服从指数分布设随机变量,)(XE由于22)]([)()(XEXEXD所以202de1θxθxθx202deθxθx2002de2]de[θxxxθxθx22)]([)()(XEXEXD所以202de1θxθxθx222θθ.2θ.2θθ和分别为指数分布的期望和方差2θ202deθxθx2002de2]e[θxxxθxθx20de2θxθx200de2]e[2θxxθxθx202][e2θθx证明22)]([)()(CECECD3．方差的性质（设D(X),D(Y)存在）(1)设C是常数,则有.0)(CD22CC.0(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(),()(2XDCXDXDCCXD证明)(CXD})]({[22XEXEC).(2XDC})]({[2CXECXE})](){[()(2CXECXECXD})]({[2XEXE).(XD).()()(,YDXDYXDYX相互独立，则有特别，若(3)设X,Y是两个随机变量，则有证明})](){[()(2YXEYXEYXD}))](())({[(2YEYXEXE)]}()][({[2)]([)]([22YEYXEXEYEYEXEXE)()(YDXD))}.())(({(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD)]}()][({[2YEYXEXE推广),()(121iniiniiiXDCXCD则有相互独立若,,,,21nXXX)]}()][({[2YEYXEXE而),()()(,YEXEXYEYX独立时由于)}()()()()()()({2YEXEXEYEYEXEXYE)}.()()({2YEXEXYE).()()(,YDXDYXDYX独立时，有所以当其中Ｃi为常数，i=1,2,…,n.即D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)xC1P(X=x)下面我们用一例说明方差性质的应用..10)()4(CXXD取常数以概率的充要条件是例10求二项分布X~B(n,p)的方差即X=X1+X2+…+Xn=np(1-p)niiXD1)(所以Ｄ(X)=解由于X可以分解为ｎ个相互独立的(0-1)分布的和．因为D(Xi)=p(1-p),i=1,2，…，n).1(pnpnp和分别为二项分布的期望和方差3.小结(1)方差是一个随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,)]([)()(22XEXEXD(2)方差的计算公式,)]([)(12kkkpXExXD.d)()]([)(2xxfXExXD10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba2)(ba12)(2ab0θθ2θ分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布0,σμμ2σ(3)重要概率分布的期望和方差(4)方差的性质（设D(X),D(Y)存在）1)设C是常数,则有.0)(CD2)设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(),()(2XDCXDXDCCXD).()()(,YDXDYXDYX相互独立，则有特别，若3)设X,Y是两个随机变量，则有))}.())(({(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD4)D(X)=0P(X=C)=1，C为常数作业P91：6(1)，14，16Ｐ92：17，19