柯尼希定理v图示坦克的履带质量为m

动力学普遍定理及达朗伯原理中国矿业大学理学院力学系巫静波Ciimmvvp1.1—质点系及刚体动量的计算1基本物理量的计算质点系质心的位置矢量及坐标mzmzmymymxmxmmmmiiCiiCiiCiiiiiC,,rrr1OO1ABOvABOvv？1求：图示系统的总动量。？2求：图示系统的动量及质心的速度。1.2质点系动量矩计算miri′Oyxzriy′x′z′CvirCii)(vrvMLiiiOOmmiCirrriiCiC)(vrvrvrrLiiiiiOmmmCivvmmiivrLiiCmCOmLvrLCCmiri′Oyxzriy′x′z′CvirCirCivvvirCirCi)(vrvrvvrvrLiiiiiiiiCmmmm0CiimmrrCiiCmmLvrvrLiiiri由质心坐标公式，有图中杆长为l，质量为m，均质圆盘半径为R，质量为m，圆心在A点。已知杆OA以角速度绕O轴转动，试求如下几种情况下圆盘对定点O的动量矩：（1）圆盘固结于OA杆上。（2）圆盘绕轴A相对于杆以角速度–转动。（3）圆盘绕轴A相对于杆以角速度转动。（4）圆盘以绝对角速度绕A轴转动。（5）圆盘以绝对角速度–绕A轴转动。OA1.3质点系动能和力的功的计算iiivmT221质点系的动能a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能222121CiiimvvmT222121ziiiJvmT222212121PCCJJmvTc.平面运动刚体的动能柯尼希定理iiiCiTTvmvmTre2r2i21)(21质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对于质心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。___柯尼希定理v图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1。车轮可视为均质圆盘，半径为R，两车轮间的距离为R。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。212221212r2i)32(2121)(21212)2(2121)(21vmmmvRvRmvmmvmvmTiiiCiO1O2质量为m、半径为3R的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为m，半径为R，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。求以下三种情况下系统的动能。（1）大圆环固定。（2）大圆环绕中心定轴转动。（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。O1O2（1）大圆环固定。222222121OOOJmvT222222,2mRJRvRvOrOOO226mRTO1O2（2）大圆环绕中心定轴转动。O1O2EvO2vE22222211212121OOOOOJmvJT22212221,9232,3,mRJmRJRvvRvRvOOrOErOOEO22222629mRmRmRTO1O2（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。O1O2计算系统的动能：222222112121212121OOOOOOJmvJmvT由运动学可知：11,3OORv建立随质心O1平动的坐标系O1x1y1x1y1O1O2EvO1vO2rvEr232,3222RvvRvRvrOErOrOErcos1249cos22222221222122RRRvvvvvrOOrOOOO1O2计算系统的动能：222222112121212121OOOOOOJmvJmvT11,3OORvO1O2EvO1vO2rvEr2322RvvrOErOcos1249cos22222221222122RRRvvvvvrOOrOOO)cos1(641822222mRmRmR平面运动刚体上力系的功MiCFidrCdriCdicCidddrrriCiCiiidddWrFrFrFdMdCMFdiCiiiCi)(cosFrFdMddMdWWCCRiCCiirFFrF)(dMdWCCCCR212112rFOBCFFsFNMOBCFS滚动摩阻的功：RSFmgMW)sin(12拉力F的功：RSFrFSWcos12功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。例题OCBPOACBPF例题已知：轮O质量为m，P，f。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。FTFNmg解：取轮O为研究对象2222222143)21(21210mRmRmRJTTC主动力的功：mgfsPsW212由动能定理得：mgfsPsmR204322OCBPOACBPFFTFNmg由动能定理得：mgfsPsmR204322)2(32mgfPmsR解得：)(32mgfPmR1.4刚体的惯性力系简化结果1、刚体作平动质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力FI。FI＝－maC2、刚体绕定轴转动惯性力系向转轴上任一点O简化，得一力和一力偶，该力等于惯性力系主矢FI，该力偶的矩等于惯性力系对点的主矩MIO。FI＝－maC222zyxOMMMM)(22222yxmrmJyzmJxzmJJMJJMJJMiiiziyzixzzzxzyzyyzxzx其中：如果刚体具有对称平面，该平面与转轴垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点O简化，得在该平面的一力和一力偶。FIR＝－maCMIO＝－Jz或向质心C简化FIR＝－maCMIC＝－JC3、刚体作平面运动如果刚体具有对称平面，则惯性力系向质心简化得一力和一力偶。FIR＝－maCMIC＝－JC★质刚体绕定轴转动时，轴承附加动反力等于零的条件为：刚体的转轴是中心惯性主轴。即：（1）转轴通过质心；（2）惯性积等于零。动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法2质点系普遍定理的综合应用动力学两类问题与分析程序主动力质点系运动质点系运动动约束力非自由质点系一般分析程序：先避开未知约束力，求解运动量；然后再选择合适的定理，确定动约束力。动力学两类问题与分析程序需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质确定：系统是单自由度还是多自由度；是一处约束还是多处约束；是理想约束还是非理想约束。对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩定理，求动约束力。对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统，但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合应用动量定理和动量矩定理以及达朗伯原理。对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统的守恒情形。达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。BO2例题AO130oD，圆轮A和B以及物块D的重量均为W，圆轮B上作用有力偶矩为M的力偶，且3Wr/2MWr/2。圆轮A在斜面上作纯滚动。不计圆轮B的轴承的摩擦力。求：1、物块D的加速度；2、二圆轮之间的绳索所受拉力；3、圆轮B处的轴承约束力。BO2AO130oD解：首先，讨论系统的自由度、约束以及广义坐标的选择。自由度：1约束：多约束广义坐标：sDOsD解：1、确定物块的加速度对系统整体应用动能定理iiWTT＝－12222221221212121AOAABODDJvmJvmT＝MGADii1222222)21(2121)21(2121TrgWvgWrgWvgWAABDBDDMsWWssin30BO2AO130oD解：1、确定物块的加速度1222222)21(2121)21(2121TrgWvgWrgWvgWAABDBDDMsWWssin30将所有运动量都表示成广义坐标sD的形式rsrvsvvDDBADAD,DDsWrMTvgW)2(2312为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到DDDvWrMavgW)2(3gWWrMaD32当MWr/2，aD0，物块向上运动DBO2WWFTFByFBxM解：2、确定圆轮A和B之间绳索的拉力AO1DWMBO230oWW解除圆轮B轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理rFWMragWrgWDB)(21T2根据运动学关系BDra＝T23FWrMagWD)23(21TrMWF。，不合理时时，,023;023TTFWrMFWrMDBO2WWFTFByFBxM解：3、确定圆轮B轴承处的动约束力对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用质心运动定理30sin230cos0TTFWFagWFFByDBx)253(121)23(4330cosTrMWFrMWFFByBxAO30°C例题均质圆盘O放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为R，匀质细杆OA长为l，质量为m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。求：杆运动到图示位置时的角速度。解：首先，讨论系统的自由度、约束以及广义坐标的选择。自由度：2约束：多约束广义坐标：xO，xAO30°COv解：取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为vO。杆转动的角速度为。AO30°COvOvvCA对系统整体应用动能定理iiWTT＝－122222212121CCOmvJmvT＝mgllmgWii41)30sin1(2由刚体的平面运动分析得lvlvvvvvvOOCAOCAOC214160cos2222222OOvmlmlmvT41612222＝AO30°COvAO30°COvOvvCAmglvmlmlmvTTOO41416122212＝由系统在水平方向的动量守恒得0)60cos2(lvmmvOOlvO81将vO代入动能定理方程可解得lg2934OA0P0AOPC例题已知：M，R，m。初始系统静止。求：小虫在圆环上相对地爬行一周，圆环自转角度。解：取系统为研究对象，系统质心为C点。因系统不受外力作用，所以C点不动。另外，系统对C点的动量矩守恒，且为0。MmMROC,MmmRCP小虫对C点的动量矩：圆环对C点的动量矩：)()(22RMmMmL1C222)()(MRRMmmML2COA0P0AOPC小虫对C点的动量矩：)()(22RMmMmL1C圆环对C点的动量矩：222)()(MRRMmmML2C由系统动量矩守恒02C1CLL0)(22MRRMmmMOA0P0AOPC由系统动量矩守恒02C1CLL0)(22MRRMmmM利用初始条件：=0，=0，积分后得0)(22MRRMmmMMmMmmMM/21/2质量为m和2m，长度分别为l和2l的匀质细杆OA和AB在A点光滑铰接，OA杆的A端为光滑固定铰链，AB杆的B端放在光滑水平面上。初瞬时，OA杆水平，AB杆铅直。由于初位移的微小扰动，AB杆的B端无初速地向右滑动，试求当OA杆运动到铅垂位置时，A点处的约束反力。ABO解