Lanchester战争模型分析

Lanchester战争模型背景:早在第一次世界大战期间,F.W.Lanchester就提出了几个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服美国1975年结束越南战争起了重要的作用.1.一般战争模型用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力,不妨就假设为双方的士兵数.假设1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示.2.每方的非战斗减员率(由疾病,逃跑等因素引起的)只与本方的兵力成正比,分别用αx和βy表示.3.甲乙双方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示.模型为(1)),(),()(),(),()(tvyyxgtytuxyxftx2.正规战争模型在正规部队作战时,双方公开活动,一方士兵处于另一方的射杀范围内,一方的战斗减员率只与另一方的兵力有关,可设f与y成正比.则模型为)2().(),(tvybxdtdytuxaydtdx),.,(决定由多种因素平均杀伤力分别为双方每个士兵的ba若考虑无后援与无非战斗减员,则(2)可简化为:)3()0(,)0(00yyxxbxdtdyaydtdx进行轨线分析:bxdxaydyaybxdxdy两边积分得:)4(202220kbxaybxay.,0;,0;,,022则甲方胜若则双方平局若乙方胜则若kkbxayk)4(202220kbxaybxay轨线族:k0k0k=0xy同时,我们考虑)5(,0200abxyk则若这说明:初始兵力之比以平方关系影响战争的结果.因此此模型叫做平方律模型.进一步分析a,b.a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率,也可称作战斗有效系数,可进一步分解为式为因此同理为命中率速度为乙方的射击率或射击其中)5(.,;,,xxyyyyprbprpra)(5,200yyxxprprabxy?),(1,50)0(,100)0(问结局如何即装备性能等相同如若bayx例1..7500)()(/2222txtyakxy则此时乙方败时当,7500)(,,0)(2txty解:由(4)式得.50;87,13人全伤亡乙方人还剩人即最后甲方伤亡.87)(tx3.游击战争模型:(双方都用游击部队作战)甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域内活动,乙方士兵不是向甲方士兵开火,而是向这个隐蔽区域射击.这是甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关,而且随着甲方士兵的增加而增加.则可设,),(cxyyxf且乙方战斗有效系数c可表示为:.xryyyySSPPr甲方活动的面积一次射击的有效面积满足为命中率为射击率其中,,.,),(yrxxxxSSrPrddxyyxg且类似xryyyySSrPrc从而,模型为:(6)00)0(,)0()()(yyxxtvydxydtdytuxcxydtdx.,,,,00dxcymdxcyvuyx:解之得忽略当m0时乙方胜;当m=0时战平;当m0时甲方胜.乙方胜的条件可表为:,00yryyxrxxSSrSSrcdxy即双方兵力比以线性关系影响战争结局.称此模型为线性律模型.4.混合战争模型(甲方为游击部队,乙方为正规部队)(7)00)0(,)0(,,yyxxbxdtdycxydtdx.22:0202bxcynbxcy其轨线族为当n0时乙方胜;乙方胜的条件为:.20200xSrSPrxyryyxxx模型为当n0时甲方胜;当n=0时双方平..10,10010012101.01.02,1,1.0,2,1.0,100006200220xyxymSkmSrrPxryxxyx即则乙方有效射击面积甲方活动面积设这说明:乙方必须10倍于甲方的兵力才能获胜.美国人曾用这个模型分析20世纪六七十年代的美越战争,甲方为越南,乙方为美国.并根据在这之前发生在马来西亚、印尼、菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出:正规部队方必须至少投入8倍于游击队方的兵力.而美国最多只能派出6倍于越南北方共军的兵力.因此战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军,越南人们获得最后胜利.例2.5.硫磺岛战役•背景:二战末期,美军与日军在日本本国附近进行着激烈的战斗.硫黄岛位于东京以南660英里的海面上,是日军的重要空军基地.美军在1945年2月19日开始进攻,激烈的战斗持续了约一个月,双方伤亡惨重,日方守军21500人全部阵亡或被俘,美方共投入73000人,伤亡20265人.战争进行到第28天美军宣布占领该岛,实际战斗进行到第36天才停止.美军有按天的详细战地记录,日军的战地记录全部遗失.•J.H.Engel利用上面的战地记录对正规战争模型进行了验证,发现吻合得相当好.下面我们介绍.•用A(t)和J(t)分别表示美军和日军在第t天的人数,忽略非战斗减员,且v=0,于是模型为(8),21500)0(,0)0(),(),()(JAtbAdtdJtutaJdtdA其它其中,065,1300032,600010,54000)(ttttu模型验证的思想方法:1.美军每天的实际兵力可由上面的数据和伤亡记录得到.2.将已经得到的实际数据代入方程组(8),并用求和代替积分.3.估计出a,b的值.4.计算出A(t)的理论上的值,与实际数据比较.(9).)()0()(,)()()0()(111tititiiAbJtJiuiJaAtA将(8)的两个方程分别积分,并以求和代替积分得到:).(,)9(,0106.02037000021500,2037000)(,36)9(,361tJbiAtbi得到式再回代于是由资料得到式中令我们在为估计.,.)()(0544.0)(.0544.0)(20265)()()36()(,)9(11361361361361发现二者波动不大进行比较与美军每天的战地记录上的美军人数这样我们就可得到理论得到的第一式我们可估计再由(10)titiiiiiiuiJtAiJiuiJAiuaa