表面积和体积

考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．热点提示1.本节内容在近几年的高考卷中均有出现，多以客观题、解答题为主，在客观题中多独立出现，在解答题中是其中的一小问，难度为中、低档．2．命题多以几何体为载体或结合三视图，考查空间几何体的表面积和体积.1．表面积(侧面积)公式柱体、锥体、台体的侧面积，就是，表面积是．(1)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长为l，则其表面积S柱＝，S锥＝.侧面展开图的面积侧面积与底面积之和2πr2＋2πrlπr2＋πrl(2)若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积S＝.(3)球的半径为R，则表面积S＝.π(r12＋r22)＋π(r1＋r2)l4πR22．体积公式(1)柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积为.(2)锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为.(3)棱台的上、下底面面积为S′、S，高为h，则体积为.(4)球的半径为R，则体积为.Sh1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为()A.2281πB.881πC.4581πD.1081π解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为43π·1＝43π，于是设底面圆的半径为r，则有2πr＝43π，所以r＝23，于是圆锥的高为h＝1－232＝53，故圆锥的体积为V＝4581π.答案：C2．(2009·成都新都一中月考)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为()A．3πB．4πC．5πD．6π解析：联想棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的棱长都为2，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长3的一半，即r＝32，故所求球的表面积为S＝3π.答案：A3．一个长方体的长、宽、高之比为2∶1∶3，表面积为88cm2，则它的体积为________．解析：设三条棱的长度分别为2a，a,3a，则有2(2a2＋3a2＋6a2)＝88，解得a＝2，故三条棱的长度分别为4,2,6，因此其体积等于4×2×6＝48cm3.答案：48cm34．已知正四棱柱的一条对角线长为6，且与底面所成的角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积是________．解析：由题意，设正四棱柱的底面边长为a，高为h，一条对角线与底面所成的角为θ，则a2＋a2＋h2＝6cosθ＝2a6＝33⇒a＝1h＝2⇒V＝a2h＝2.答案：25．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切．求：(1)正三棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．解：(1)如右图，底面正三角形的中心到一边的距离为FD＝13×32×26＝2，则正三棱锥侧面的斜高为PD＝12＋22＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.(2)设正三棱锥P—ABC的内切球的球心为O，连结OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13·S侧·r＋13·S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又VP—ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝2332－2318－12＝6－2，∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝726－1763π.【例1】右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π思路分析：根据三视图找出该几何体的结构特征，由什么组合而成，再根据相应的表面积公式即可求出．解：从题中三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱体组合而成的，其表面积为S＝4π×12＋π×12×2＋2π×1×3＝12π.答案：D高考中对几何体的表面积题考查得较容易，一般利用公式即可求出，需要注意的是应用公式前，要弄清楚考查的几何体的结构特征，再准确求出相关的基本元素.变式迁移1已知三棱锥的顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，三棱锥的侧棱长为10cm，侧面积为144cm2，求棱锥的底面边长和高．解析：如右图所示，三棱锥S－ABC，SA＝10.设高SO＝h，底面边长为AB＝a.连接AO延长交BC于D点，连SD，∴S侧＝12×3a·SD＝144，即12×3a102－a22＝144.∴底面边长a＝12cm.∴SD＝8.又在Rt△SOD中，h2＝SD2－OD2＝SD2－(36a)2＝64－12×122＝52.∴高SO＝h＝213cm.【例2】已知正方体AC1的棱长为a，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．解：因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝a2＋a22＝52a，所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连结EF，则△EFB≌△EFD1，由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝2·13·S△EBA1·a＝16a3.在求多面体的体积时，如果几何体的形状不规则或者直接求解不易进行时，可以对几何体进行分割，化为规则几何体或者体积容易求解的几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体的体积．另外，三棱锥的体积求解具有较强的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，所以常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解.变式迁移2三棱台ABC—A′B′C′中，AB∶A′B′＝1∶2，则三棱锥A′—ABC，B—A′B′C，C—A′B′C′的体积比为()A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4解析：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A′B′C′＝4S.∴VA′－ABC＝13S△ABC·h＝13Sh.VC－A′B′C′＝13S△A′B′C′·h＝43Sh.VABC－A′B′C′＝13(S＋4S＋4S·S)·h＝73Sh.∴VB－A′B′C＝VABC－A′B′C′－VA′－ABC－VC—A′B′C′＝23Sh.∴体积比为1∶2∶4.答案：C【例3】如右图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P—ABCD(如图)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672＝3个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体．答案：3几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力．解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后位置关系和数量关系变化的情况，从而画出准确的图形解决问题.变式迁移3如右图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()A.43π27B.6π2C.6π8D.6π24解析：由已知条件知，平面图形中AE＝EB＝BC＝CD＝DA＝DE＝EC＝1，∴折叠后得到一个各侧面为正三角形且全等的三棱锥．解法一：如右图所示，作AF⊥面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心．取EC中点G，连接DG、AG，过球心O作OH⊥面AEC.则垂足H为△AEC的中心．∴外接球半径可利用△OHA∽△AFG求得．∵AG＝32，AF＝1－332＝63，AH＝33.∴OA＝AG·AHAF＝32×3363＝64.∴外接球体积为43π·OA3＝43π×6643＝68π.解法二：如右图所示，把四面体放在正方体中．显然，四面体的外接球就是正方体的外接球．∵正方体棱长为22，∴外接球直径2R＝3×22.∴R＝64.∴体积为43π·(64)3＝68π.答案：C【例4】(2009·广东卷)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.下图(2)、(3)分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.思路分析：(1)根据正视图和俯视图可以知道其侧视图和正视图是完全相同的；(2)根据两个视图给出的标记，这个安全墩的下半部分是一个底面边长为40cm、高为20cm的长方体，上半部分四棱锥的高为60cm，根据公式计算即可；(3)根据正四棱锥的性质进行证明．解：(1)该安全标识墩侧视图如右图所示．(2)该安全标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)如右图所示，连接HF、EG.由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又∵ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH.设点O是EFGH的对称中心，连接PO.∵P—EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.本题从现实生活中的实物几何体出发，考查空间几何体的三视图、体积计算以及基本空间线面位置关系的证明，是一道颇有新意的试题.变式迁移4(2009·辽宁卷)设某几何体的三视图如下图所示(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3.解析：这个空间几何体是一个三棱锥，这个三棱锥的高为2，底面是一个一条边长为4、这条边上的高为3的等腰三角形，故其体积V＝×4×3×2＝4.答案：41．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便．可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．