概率3-2---边缘分布

概率论第二节边缘分布边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度课堂练习小结布置作业概率论二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题.概率论二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数,,Fxy而和都是随机变量,XY也有各自的分布函数,分别记为,,XYFxFyXFxPXx变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机,,YFyPYyPXYyFy一、边缘分布函数,PXxY,Fx概率论一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为X和Y的联合分布律为,2,1,,),(jipyYxXPijji11,ijijjjPXxYyp,2,1iixXP1,jjiiyYxXxX二、离散型随机变量的边缘分布律.ip概率论(X,Y)关于Y的边缘分布律为jyYPjiijjiippyYxXP.11,1,2,j概率论例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}YX1301838001233800182311221231122231218.=3/8=3/831218概率论P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.30,1kPXkY=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.30,3kPXkY概率论我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.YX130183800123380018jPYyiPXx183838186828概率论联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.YX130183800123380018jPYyiPXx183838186828概率论对连续型r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为),(yxfdyyxfxfX),()(dyyxfdxxFxFxX,,事实上,,XXfxFxfxydy三、连续型随机变量的边缘概率密度x概率论(X,Y)关于Y的边缘概率密度为dx)y,x(f)y(fYy概率论例2设(X,Y)的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y,x(f00102求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.100(2)xdxcyxdy解(1)21,Rfxydxdy故yxxy01x123022cxxdx概率论例2设(X,Y)的概率密度是解求(1)c的值;(2)两个边缘密度.其它,00,10),2(),(xyxxcyyxfdyyxfxfX,00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydy(2)xxy0yx1xxx10,,,,0,0.Xxxyfxyfx或都有故当时当时,01x暂时固定概率论),2(5122xx注意取值范围xdyxy0)2(524综上,.,,0,10,25122其它xxxxfXxxyxxy01xx00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydy当时,01x概率论例2设(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.其它,00,10),2(),(xyxxcyyxfdxyxfyfY,.0,0,,,,01yfyxfxyyY故都有对时或当.,,,,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyY时当yxyyy11y暂时固定0yx概率论),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它,010),2223(524)(2yyyyyfY综上,注意取值范围概率论在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布.概率论设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度其它,0),(,1),(GyxAyxf则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.例概率论若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.,,,,2121其中均为常数,且,0,021,,,,21211.ρ记作（X,Y）～N().221212,,,,μμσσρ,x,y212221122122212211(),exp2121()()()2xμfxyσρπσσρxμyμyμρσσσ概率论例3试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,Xfxfxydy解22122212()()()2yμxμyμρσσσ2222111211()yμxμxμρρσσσ因为所以22211222111()212212121yμxμxμρσσρσXfxeedyπσσρ概率论212211,1yμxμtρσσρ令则有22121()22112xμtσXfxeedtπσ22211222111()212212121yμxμxμρσσρσXfxeedyπσσρ2121()21122xμσeππσ2121()2112xμσeπσx概率论二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数.ρ同理2222()2212yμσYfyeπσy可见由边缘分布一般不能确定联合分布.也就是说,对于给定的不同的对应1212,,,,μμσσρ不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明概率论四、课堂练习设(X,Y)的概率密度是,0,,0,yexyxfxy其它求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.概率论xyxxy0xx,Xfxfxydy解暂时固定当时,0x当时,0x00XfxdyyXxfxedyxeyxe故,0,0,0.xXexfxx暂时固定概率论yxxy0,Yfyfxydx暂时固定yyy暂时固定当时,0y当时,0y00Yfydx0yyYfyedxyye故,0,0,0.yYyeyfyy概率论1.在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.2.请注意联合分布和边缘分布的关系:五、小结概率论六、布置作业《概率统计》标准化作业(三)