控制工程基础7-第3章 (控制系统的时域分析-1)

第三章控制系统的时域分析分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。经典控制理论中常用的工程方法有时域分析法频率特性法根轨迹法分析内容瞬态响应稳定性稳态性能时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。23.1时间响应性能指标3.2一阶系统的时域响应3.3二阶系统的时域响应3.4系统的稳定性分析3.5系统稳态性能分析基本要求熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数。重点：是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。熟练掌握计算稳态误差的方法。掌握系统的型次和静态误差系数的概念。基本要求3.1系统时间响应的性能指标典型输入信号回顾单位阶跃函数单位斜坡（速度）函数单位脉冲函数正弦函数单位加速度（抛物线）函数（新）具体表达式是什么？分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。动态过程与稳态过程某系统的单位阶跃响应曲线0ty瞬态过程稳态过程动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。稳态过程稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态相应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态误差描述动态性能与稳态性能稳定是控制系统能够运行的前提条件。动态响应（1）典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。（2）通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。具体见下张幻灯片。73.1时间响应性能指标工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。常用的试验信号有阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号、脉冲信号及正弦信号。这些信号都是简单的时间函数，并且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。3.1.1典型输入信号㈠阶跃函数阶跃函数的定义是000)(ttAtr对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量，如图所示。若A=1，称为单位阶跃函数，记作1(t)0001)(1ttt阶跃函数的拉氏变换为sAesAdteAtrLsRstst00|)]([)(单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。A0t㈡斜坡函数斜坡函数也称等速度函数。其定义为输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如图所示。若A=1,则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2000)(ttAttr0200|)]([)(sAdtesAesAtdtAtetrLsRstststA10t㈢抛物线函数抛物线函数也称加速度函数，其定义为输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如图所示。若A=1,称之为单位抛物线函数。抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/s3000221tAtttr)(3st00st20st221sAdtesAtets2AdteAttrLsR|)]([)(t10A21㈣脉冲函数脉冲函数的定义为脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。脉冲函数的积分，即脉冲的面积为t0t0t0Atr和)(AtAdtAdttr0000|limlim)(0tA–理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义。任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不同的无限多个脉冲函数的叠加。12（t）函数的图形如右图所示。脉冲函数的积分就是阶跃函数。脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。0st00st0stAdtetAdtetAdtetAtrLsR)()()()]([)(t0(t)1当A=1时，即面积为1的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为(t)t0t0t01t,/)(㈤正弦函数正弦函数也称谐波函数，表达式为用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为0t00ttASintr)(220tjs0tjs0sttjtj0stsAjs1js1j2Ajsejsej2Adteeej2AdtteASintrLsR][]||[)()]([)()()(14如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。153.1.2动态性能指标动态性能延迟时间td：响应曲线第一次达到其稳态值一半所需时间。上升时间tr：响应从稳态值的10%上升到稳态值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到稳态值所需时间。上升时间是响应速度的度量。ptr0.5y(t)tdtp01tst稳态误差16峰值时间tp：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间。调节时间ts：响应到达并保持在稳态值内所需时间。超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与稳态值h(∞)之差的百分比，即%100)()()(%hhthpptr0.5y(t)tdtp01tst稳态误差稳态性能：由稳态误差ess描述。srpttt,,在上述几种性能指标中，表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中和是两种最常用的性能指标。%%stptr0.5y(t)tdtp01tst稳态误差11TS193.2一阶系统的时域响应由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统.典型闭环控制一阶系统如图所示.其中是积分环节，T为它的时间常数。Ts1一阶系统的结构图C(s)-R(s)Ts11Ts1Ts11Ts1sRsCs)/()/()()()(典型的一阶系统是一个惯性环节,输出为)()().()(sR1Ts1sRssC一般地，将微分方程为传递函数为的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。)()()(trtcdttdcT11)()(TssRsC20)()()(tutudttduCRrccTssCRsUsUrc1111)()(R(s)C(s)E(s)(-)1/Ts传递函数:结构图：微分方程:Ri(t)C)(tur)(tuc如RC电路:在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。21s1sR)(T1s1s1s11Ts1sC.)(Tte1tC)()(0t实际中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间）,这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。在整个工作时间内，系统响应都不会超过稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应，如下图所示。3.2.1单位阶跃响应设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(t),其拉氏变换为,则输出的拉氏变换为当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线。22图中指数响应曲线的初始（t=0时）斜率为.实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值的63.2%。经过3T～4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%～98%。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。斜率T11C(t)0.95T3T0.632一阶系统的单位阶跃响应T1系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与上图作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。23)()(0te1tctT1j0p=-1/TS平面(a)零极点分布c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为1/Tc(t)=1-e-t/T0tT2T3T4T1(b)单位阶跃响应曲线特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为1/T；3）无峰值时间，无超调；稳态误差ess=0。性能指标：延迟时间：td=0.69T上升时间：tr=2.20T调节时间：ts=3T(△=0.05)或ts=4T(△=0.02)输入r(t)=1(t)，输出24式中，t-T为稳态分量，为瞬态分量，当t→∞时，瞬态分量指数衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示。T1sTsTs1s11Ts1sC22)(TtTtTtTeTte1TtTeTttC)()(（t≥0）TtTC(t)r(t)=to一阶系统的单位斜坡响应TtTe3.2.2单位斜坡响应设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为则输出的拉氏变换为2s1sR/)(25显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即且可见，当t趋于无穷大时，误差趋近于T，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。)1()()()(TteTtctrteTtet)(lim稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1.26系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏反变换T1sT11Ts1SC)(3.2.3单位脉冲响应设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=δ(t),其拉氏变换为R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为TteTtC1)(（t≥0）对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为0.368C(t)3TT1T1斜率21TC(t)T2Tt一阶系统的脉冲响应响应曲线如图所示。27输入r(t)=(t)，输出)()(0teT1tctT1t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为0.368/T0.05/T0t/TeT1c(t)T1g(t)(c)单位脉冲响应曲线2T1特点：1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2)初始斜率为-1/T2；3)无超调；稳态误差ess=0。28按照脉冲函数，阶跃函数、斜坡函数的顺序，前者是后者的导数，而后者是前者的积分。脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关