北邮 通信工程 数理方程 讲义 第二章(上)

物理学、力学、工程科学甚至经济和社会科学中等许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。第二章中我们讨论了怎样将一个物理问题表达为定解问题，这一章以及以下几章的任务是怎样去求解这些定解问题，也就是说在已经列出方程和定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分和积分（重积分等）时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决，与此类似，求解偏微分方程的定解问题也可以设法把它们转化为常微分方程的定解问题来求解。分离变量法就是这样一种常用的转化方法。在这一章中，我们将通过一些实例，讨论分离变量法及其应用。§2.1（1+1）维齐次方程的分离变量法一、有界弦的自由振动由第2章的讨论可知，讨论两端固定弦的自由振动规律问题可以归结为求解下列定解问题：22222000(0,0),(2.1.1)0,00,2.1.2(),0.2.1.3xxlttuuaxlttxuutuuxxxlt这个问题的特点是，偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数齐次常微分方程的初值问题时，是在先不考虑初始条件的情况下，求出满足方程的足够多的特解，再利用叠加原理做出这些特解的线性组合，构成方程的通解，然后利用初始条件来确定通解中的任意常数，得到初值问题的特解。这就启发我们要求解定解问题（2.1.1）——（2.1.3），须首先寻求齐次方程（2.1.1）满足边界条件（2.1.2）的足够多的具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们做线性组合，得到方程满足边界条件的一般解，再使这个一般解满足初始条件（2.1.3）。这种思想方法，还可以从物理模型中得到启示。从物理学知道，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的声音，每种频率的单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t，每个单音可以表示为的形式，这种形式的特点是u（x，t）中的变量x和t被分离出来了。(,)()sinuxtAtx根据上面的分析，我们来求方程（2.1.1）的具有变量分离形式（2.1.4）的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.1.2），式中X（x）、T（t）分别表示只与x有关和只与t有关的待定函数。将式（2.1.4）代入方程（2.1.3），由(,)()()uxtXxTt22''''22()(),()(),uuXxTtXxTtxt得''2''()()()()XxTtaXxTt或''''2()()()()XxTtXxaTt这个式子的左端仅是x的函数，右端仅是t的函数，一般情况下两者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等。令此常数为，则有''''2()(),()()XxTtXxaTt这样，我们得到两个常微分方程''2()()0TtaTt''()()0XxXx利用边界条件（2.1.2），由于有（2.1.4）（2.1.5）(,)()()uxtXxTt(0)()0,()()0,XTtXlTt但()0,()0,0TtTtuxt因为如果，则与要求非零解矛盾，所以因此，要求方程（2.1.1）满足边界条件（2.1.2）的变量分离形式的解，就先要从下列常微分方程的边值问题(0)()0XXl''()()0,(0)()0XxXxXXl解出.Xx（2.1.7）方程（2.1.6）包含一个待定任意常数。因此我们的任务是要确定取何值时方程（2.1.6）才有满足条件（2.1.7）的非零解，又要求出这个非零解X(x)。这样的问题称为常微分方程（2.1.6）在条件（2.1.7）下的本征值问题（也称固有值问题或特征值问题）。使问题（.1.6）、（2.1.7）有非零解的称为该问题的本征值（也称固有值或特征值），相应的非零解X(x)称为本征函数（也称固有函数或特征函数）。下面我们对取值的三种情况进行讨论。1设，这时方程（2.1.6）的通解为也可以用数学软件Maple求解。0(),kxkxXxAeBe:=odedd2x2()Xxk2()Xx0ode:=diff(X(x),x$2)-k^2*X(x)=0;dsolve(ode);()Xx_C1e()kx_C2e()kx结果是一样的。式中A，B（或）为积分常数，由条件（2.1.7）得_1,_2CC0,0.klklABAeBe由此解得A=B=0，即X（x）=0，为平凡解，不符合非零解的要求，故不可能有。02设时，方程（2.1.5）的通解是由边界条件（2.1.6）仍得A=B=0，即X（x）=0，为平凡解，故也不可能.0()XxAxB03设时，此时方程（2.1.6）的通解可由Maple求出ode:=diff(X(x),x$2)+beta^2*X(x)=0;:=odedd2x2()Xx2()Xx0dsolve(ode);()Xx_C1()sinx_C2()cosx即方程（2.1.6）的通解为xBxAxXsincos)(02代入条件（2.1.7），得0,sin0ABl由于（否则），故即（n为负整数的情况可以不必考虑，因为例如的形式）。从而得到一系列固有值与固有函数0B()0Xxsin0l(1,2,)nnl22,sinnBxl'2sinBxl仍是2221,2,nnnl()sin(1,2,)nnnXxBxnl确定了固有值之后，将它代入到常微分方程（2.1.5），用Maple得其通解为ode:=diff(T(t),t$2)+a^2*n^2*Pi^2/l^2*T(t)=0;:=odedd2t2()Tta2n22()Ttl20dsolve(ode);()Tt_C1sinnatl_C2cosnatl即()cossin(1,2,).nnnnanaTtCtDtnll(,)cossinsin1,2,,nnnuxtnananCtDtxnlll（2.1.11）于是由式（2.1.9）和（2.1.10）得到满足方程（2.1.1）和边界条件（2.1.2）的一组变量分离形式的特解其中'',nnnnnnCBCDBD至此我们的第一步工作完成了，求出了既满足方程（2.1.6）又满足边界条（2.1.7）的无穷多个非零特解（2.1.11）。为了求出原问题的解，还须满足初始条（2.1.3）。为此将（2.1.11）中的所有函数,nuxt11,(,)cossinsin.nnnnnuxtuxtnananCtDtxlll（2.1.12）是任意常数。叠加起来，得由叠加原理可知，如果式（2.1.12）右端的无穷级数是收敛的，而且关于x和t都能逐项微分两次，则它的和u（x，t）也满足方程（2.1.1）和边界条件（2.1.2）.现在要适当选择nnDC,也满足初始条件（2.1.3）。为此必须有0110,,0sin,,0sin.ntntnntnuxtuxCxxlunanuxDxxtll（2.1.13），使函数u（x，t）因为xx和是定义在[0，l]上的函数nC为x级数展开式的系数，nnaDxl为正弦级数展开式的系数即可，也就是取002()sin,2()sin,lnlnnCxxdxllnDxxdxnal初始条件（2.1.3）就能满足。所以只要选取的Fourier正弦的Fourier（2.1.14）将式（2.1.14）所确定的nnDC,（2.1.12），就得到了原问题的解。代入到式从上述求解偏微分方程的方法来看，一般情况下，是先求形式解，然后在一定条件下验证这个形式解就是古典解。这个验证的过程称为综合工作，鉴于篇幅和讲授时间的限制，也因为本书中所讨论的问题都是经典问题，在今后的叙述中，都不去做这个综合工作。也不去讨论所得的形式解成为古典解时需要附加的条件，只要求得了形式解，就认为问题得到了解决。从前面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数和运用叠加原理。这些运算之所以能够进行，是因为所讨论的偏微分方程和边界条件都是线性齐次的，这是使用分离变量法的基础，希望读者注意。例1解下列定解问题222220200(0,0),0,00,2,00.xxlttuuaxlttxuutxuuxlxxlt解这里所考虑的方程仍是式(2.1.1)，所不同的只是在这一端的边界条件不是第一类齐次边界条件，而是第二类齐次边界条件．因此，通过分离变量，即令的步骤后，仍得到方程(2.1.5)与(2.1.6)xl0xlu0xlux(,)()()uxtXxTt2()()0,TtaTt()()0XxXx但条件(2.1.7)应代之以（2.1.7）’相应的固有值问题为求的非零解．(0)()0XXl()()0,(0)()0XxXxXXl重复前面的讨论可知，只有当时，上述固有值问题才有非零解．此时式(2.1.6)的通解仍为20()cossinXxAxBx代入条件（2.1.7）‘，得0,cos0ABl0cos0Bl由于，故，于是21(0,1,2,)2nnl从而得到一系列固有值与固有函数222(21)4nnl(21)()sin(0,1,2,)2nnnXxBxnl与这些固有值相对应的方程(2.1.5)的通解为(21)(21)()cossin22(0,1,2,)nnnnanaTtCtDtlln于是，所求定解问题的解可表示为0(,)(21)(21)(21)cossinsin222nnnuxtnananCtDtxlll利用初始条件确定其中的任意常数得,nnCD202(21)0,(2)sin2lnnnDCxlxxdxll这个积分可用Maple计算c[n]:=2/l*int((x^2-2*l*x)*sin((2*n+1)*Pi*x/(2*l)),x=0..l);:=cn4l2()84()sinnn24()sinnn22()sinn28()sinn3()8n312n26n1factor(8*n^3+12*n^2+6*n+1);()2n13因为，sin0n，故可知23332(21)nlCn.因此，所求定解问题的解为2330(,)321(21)(21)cossin(21)22nuxtlnantxnll.在上面定解问题的求解过程中，我们看到求解本征值问题和确定形式解中的任意常数是关键，本征值问题与所给的边界条件有关，而确定常数主要是计算初始函数的Fourier展开系数，这两个关键步骤可以借助于数学软件。比如在上述积分结果中令sin()0n和使32381261(21)nnnn也可以在Maple中完成：只要在Maple中输入命令res1:=int((x^22*l*x)*sin((2*n+1)*Pi*x/(2*l)),x=0..l);:=res12l3()84()sinnn24()sinnn22()sinn28()sinn3()8n312n26n1res2:=subs(sin(Pi*n)=0,res1);:=res216l33()8n312n26n1.的过程，factor(8*n^3+12*n^2+6*n