第三章_线性方程组习题课

线性代数习题讲解第三章线性方程组一、要点复习二、作业讲解一、要点复习齐次线性方程组非齐次线性方程组线性方程组仅有零解有非零解无解有解唯一解无穷多解1.线性方程组的基本概念次线性方程组。不全为零时，称为非齐性方程组。全为零时，称为齐次线称为常数项。称为系数，为未知量，其中个方程的线性方程组个未知量含有),2,1(),2,1(,,,,,,2122112222212111212111mibmibbaxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxamniiiijnmnmnmmnnnn)()(212122221112112121212222111211时时0bbAx0b0AxbABbxA。非齐次线性方程组：；齐次线性方程组：。增广矩阵，，常数向量，未知数向量系数矩阵：线性方程组的矩阵表示nmnmmnnnnmnmmnnbbbaaaaaaaaabbbxxxaaaaaaaaa注：线性方程组用消元法求解的过程可用矩阵的初等行变换代替。2.齐次线性方程组必有有非零解。知量个数时，时，即方程个数小于未当。有非零解的充要条件为；仅有零解的充要条件为时，当个自由未知量。，此时解中含有有非零解的充要条件为；仅有零解的充要条件为，则的秩为，若系数矩阵元齐次线性方程组对于0AxA0AxA0Ax0Ax0AxR(A)0Ax0AxnmnmrnnrnrrAnxaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn推论2：推论1：定理：0)2(0)1()2()1(,0,0,0221122221211212111。有唯一解的充要条件是元非齐次时，当是有无穷多解的充要条件；有唯一解的充要条件是则有解，且元非齐次若是增广矩阵。，其中有解的充要条件是元非齐次0,)2()1(,,,,22112222212111212111AbAxbAxbAxR(A)bAxbABR(B)R(A)bAxbAx线性方程组个自由未知量。此时解中含有线性方程组线性方程组nnmrnnrnrrnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn推论：定理：定理：3.非齐次线性方程组二、作业讲解1111)2(223235)1(..14143322132321321xxxxxxxxxxxxxxxxBA和增广矩阵系数矩阵写出下列线性方程组的。，增广矩阵系数矩阵235210123111210123111)1(BA解。，增广矩阵）系数矩阵（1111100111000110001110011100011000112BA2.是.（代入验证即可，过程略）.095433132341345321321321321的解性方程组为任意常数）是否为线（试问xxxxxxxxxttxtxtx解3.程组无解。，所以该非齐次线性方因为bAARR)(，增广矩阵63480001110033181020311213124bA解.8311102322421321321xxxxxxxx，，求解非齐次线性方程组4.，增广矩阵00000221711012179016124211635113251bA，，方程组同解于4324312171221791xxxxxx，取自由未知量2413,txtx为任意常数。其中，，，，则方程组的通解为212413212211,2171221791tttxtxttxttx解.6242163511325432143214321xxxxxxxxxxxx，，求解非齐次线性方程组5.244320221232121321321xxxxxxxxxxx求解非齐次线性方程组解，增广矩阵000021002010100100008400221012112414302102121211.221321xxx，，方程组的通解为6.解14426344214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求解非齐次线性方程组，000000000023310322010000000000233101111114421611344111211111，，原方程组同解于432431332223xxxxxx，取自由未知量2413,txtx为任意常数。其中，，，，则方程组的通解为212413212211,332223tttxtxttxttx7.),1)(54(540021114552111时，方程组有唯一解；且故当154时，当54，由90003565102541114551254125411；，所以此时方程组无解因为bAARR)(解.1455122321321321解时，写出通解穷多解？并在有无穷多无解，有惟一解，有无方程组取何值时，非齐次线性xxxxxxxxx时，当1，由000011001011145512112111穷组解，，所以此时方程组有无因为32)(bAARR，，原方程组同解于11321xxx，取自由未知量tx2为任意常数。其中，，，则方程组的通解为txtxtx113218..051551454343232121，在其有解时求其解有解的充要条件证明线性方程组iibbxxbxxbxxbxxbxx解。，即的充要条件为非齐次线性方程组有解0)()(51iibRRb|AA,0000011000101001001010001100011100001100001100001154321443432432154321bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb，，，，此时，方程组同解于544543354322543211xbxxbbxxbbbxxbbbbx，取自由未知量tx5，，，，，则方程组的通解为txtbxtbbxtbbbxtbbbbx544433432243211为任意常数。其中t解，系数矩阵0000010010215110531631121A，，方程组同解于023421xxxx，取自由未知量2412,txtx为任意常数。其中，，，，则方程组的通解为2124312211,02tttxxtxttx9.05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx求解齐次线性方程组10.解07420634072305324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求解齐次线性方程组，系数矩阵100051002681074217421632472135132程组只有零解。，所以，该齐次线性方因为4)(AR解系数行列式时，齐次线性方程组的当2n0)1()1(1000010000101111)1(01111011110111101nnDnn故该齐次线性方程组只有零解。或,10000100001011110111101111011110A系数矩阵只有零解。所以该齐次线性方程组因为,)(nRA11.0000)2(1321121131132nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxn是否有非零解组判别下列齐次线性方程解，系数矩阵00000111111222abbaabaaA，故一定有非零解。因为32)(AR时，当ba，，方程组同解于0321xxx，取自由未知量tx2为任意常数；其中，，，则方程组的通解为txtxtx0321时，当ba，方程组同解于321xxx，取自由未知量2312,txtx为任意常数。其中，，，则方程组的通解为212312211,tttxtxttx12.000,322212321321xbxaxabxaxaxxxxba出通解方程组有非零解，并求满足什么关系时，下列讨论当