第二章 平面体系的几何组成分析1

第二章平面体系的几何组成分析第二章平面体系的几何组成分析一、几何组成分析的目的1.前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变形的刚性杆件。2.1概述几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置保持不变的体系。几何可变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置可以改变的体系。2.几何不变体系与几何可变体系第二章平面体系的几何组成分析P瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变体系。瞬变体系常变体系几何可变体系几何不变体系体系注意：建筑结构必须是几何不变的。第二章平面体系的几何组成分析（3）判定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择正确的结构计算方法。（1）研究几何不变体系的组成规律，判断某一体系是否几何不变，从而判定该体系是否可作为结构使用；（2）明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序；第二章平面体系的几何组成分析3．研究体系几何组成的目的（一）刚片在平面内可以看成是几何形状不变的物体。一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。二、相关概念第二章平面体系的几何组成分析（二）自由度完全确定物体位置所需要的独立坐标数。平面内一点平面内一刚片(a)(b)11111第二章平面体系的几何组成分析（三）约束（联系）能减少自由度的装置或连接。(1)链杆：增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。常见的约束：两端用铰与其它物体相连的杆。链杆可以是直杆、折杆、曲杆。(a)(b)第二章平面体系的几何组成分析(2)单铰：连接两个刚片的铰。一个单铰相当于两根链杆。增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。(a)(b)第二章平面体系的几何组成分析(3)复铰：连接两个刚片以上的铰。xyOW=5连接n个刚片的复铰，相当于（n-1）个单铰的作用(4)刚结点W=6W=3一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。W=9第二章平面体系的几何组成分析若一个复刚结点上连接了N个刚片，则该复刚结点具有3(N-1)个约束，等于(N-1)个单刚结点的作用。5)复刚结点W=9W=3第二章平面体系的几何组成分析1、必要约束：使体系自由度数减少为零所需的最少约束。2、多余约束：体系上约束数目大于体系的自由度数目，则其差值就是多余约束。注：有无多余约束是判定结构是静定和超静定的依据。（四）必要约束与多余约束第二章平面体系的几何组成分析（五）实铰与虚铰1)实铰：由两根链杆相交于一点构成的铰成为实铰。定轴转动A单铰连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成的联系，叫虚铰。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的交点上。虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。2）虚铰第二章平面体系的几何组成分析能形成虚铰的是链杆()1234联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。瞬铰绕瞬心转动！2，3O第二章平面体系的几何组成分析(a)(b)(c)第二章平面体系的几何组成分析虚铰的特点：如下图（a）所示刚片Ⅱ不动，刚片Ⅰ以点C为瞬时转动中心进行转动，只有一个自由度。经过一微小位移后，两杆延长线的交点C的位置也发生了改变，C点起到一个铰的作用。第二章平面体系的几何组成分析设有一个平面刚片系：刚片数：m→自由度：3m单铰结点数：j→约束：2j单刚结点数：g→约束：3g支座链杆数：r→约束：r三、平面体系自由度的计算1.体系与基础相连时的自由度计算公式体系自由度计算公式：W=3m-（3g+2j+r）注：支座链杆数是把所有的支座约束全部转化为链杆约束所得到的。第二章平面体系的几何组成分析体系不以基础相连，则支座约束r=0，体系对基础有3个自由度，仅研究体系本身的内部可变度V，可得体系自由度的计算公式为：2.体系不与基础相连时的自由度计算公式W=V+3得V=W-3=3m-3g+2j）-3第二章平面体系的几何组成分析解：W=3m－（3g+2j+r）=3×3－（2×2＋4）=1因W0，体系是几何可变的。123例1.求图示多跨梁的自由度。第二章平面体系的几何组成分析2211111例2.求图示不与基础相连体系的自由度。解：体系内部可变度V=3m－（3g+2j）－3=3×7－2×9－3=0第二章平面体系的几何组成分析注意：W≤0是体系几何不变的必要条件。3.体系自由度的讨论（1）W0，自由度数目约束数目，体系几何可变（2）W=0，具有使体系几何不变所需的最少约束（3）W0，自由度数目约束数目，体系几何不变且具有多余约束（超静定结构）第二章平面体系的几何组成分析一、一点一刚片1.规则一：一个点与一个刚片之间用两根不在同一条直线上的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。2.结论：二元体规则（1）二元体：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置，如图2.4(a)所示。（2）二元体规则：在一已知体系中依次增加或拆除二元体，不改变原体系的几何性质。注意：利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分析简单明了。2.2几何不变体系组成规则及体系分析举例第二章平面体系的几何组成分析二、两刚片规则1.规则二：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图2.4(b)所示。2.推论：两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图2.5(a)所示。图2.4第二章平面体系的几何组成分析三、三刚片规则1.规则三：三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图2.4(c)所示。2.铰接三角形规则：平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系。注意：以上三个规则可互相变换。之所以用以上三种不同的表达方式，是为了在具体的几何组成分析中应用方便，表达简捷。第二章平面体系的几何组成分析B（b）AC（a）ABCB（c）AC（d）BB（e）AC第二章平面体系的几何组成分析四、瞬变体系1.瞬变体系的概念：原本是几何可变，在微小荷载作用下发生瞬间的微小刚体几何变形，然后便成为几何不变的体系称为瞬变体系。如图2.5(b)(c)、2.6(b)所示。2.瞬变体系的静力特性：在微小荷载作用下可产生无穷大内力。因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的。注：瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的体系，是特殊的几何可变体系。第二章平面体系的几何组成分析图2.5图（d）是几何可变体系第二章平面体系的几何组成分析图2.6图（a）是有一个多余约束的几何不变体系第二章平面体系的几何组成分析五、分析举例分析的一般要领是：先将能直接观察出的几何不变部分当作刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系的组成，揭示出分析的重点，便于运用组成规则考下面提出几个组成分析的途径，可视具体情况灵活运用。（1）当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的二元体，再对余下的部分进行分析。如下图所示体系。第二章平面体系的几何组成分析图2.7第二章平面体系的几何组成分析(2)当体系的基础以上部分与基础间以三根支承链杆按规则二相联结时，可先拆除这些支杆，只就上部体系本身进行分析，所得结果即代表整个体系的组成性质。如下图所示体系。第二章平面体系的几何组成分析(3)凡是只以两个铰与外界相连的刚片，不论其形状如何，从几何组成分析的角度看，都可看作为通过铰心的链杆。如下图所示体系。第二章平面体系的几何组成分析【解】（1）AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。（2）将BC杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约束的几何不变体系。【例2.1】试对下图所示体系进行几何组成分析。第二章平面体系的几何组成分析【解】（1）体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG（图中虚线所示）；（2）依次去掉二元体（DG、FG）、（EF、CF）；（3）对余下部分，将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰A、E、B两两相连，故为无多余约束的几何不变体系。【例2.2】试对下图所示体系进行几何组成分析。第二章平面体系的几何组成分析【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，只分析上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体系。在本例中链杆AC、EC、CD、FD及BD【例2.3】试对下图所示体系进行几何组成分析。第二章平面体系的几何组成分析【例2.4】分析下图所示体系的几何构造。第二章平面体系的几何组成分析（2）分析图（b)中的体系先把折杆AC和BD用虚线表示的链杆2与3T形刚片CDE由三个链杆1、2、3与基础相连。如三链杆共点，则体系是瞬变的。【解】（1）分析图(a)中的体系首先，三角形ADE和AFG是两个无多余约束的几何不变体系，分别以Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ与地基Ⅲ间的链杆1、2相当于瞬铰B，Ⅱ与地基Ⅲ间的链杆3、4相当于铰C。如A、B、C三个铰不共线，则体第二章平面体系的几何组成分析图4(a)所示为一简支梁。简支梁是静定结构的一个例子。图(b)所示为一连续梁。连续梁是超静定结构的一个例子。平面杆件结构可分为静定结构和超静定结构两类。凡只需利用静力平衡条件就能确定全部支座反力和内力的结构称为静定结构。全部支座反力或内力不能只由静力平衡条件来确定的结构称为超静定结构第二章平面体系的几何组成分析从几何组成分析方面来看，图(a)为无多余约束的几何不变体系，它是静定的。而图(b)为有一多余约束的几何不变体系，它是超静定的。因此，静定结构的几何组成特征是几何不变且无多余约束，超静定结构也为几何不变但有多余约束。通过第二章平面体系的几何组成分析1．两个平行链杆构成沿平行方向上的无穷远虚铰。2．三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论。当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由分析得出以下依据和结论：（1）当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连线与该无穷远虚铰方向不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。（2）当有两个无穷远虚铰时，若两个无穷远虚铰的方向相互不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。（3）当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变。注意：三个刚片的三个单铰有无穷远虚铰情况第二章平面体系的几何组成分析图（a）为无多余约束的几何不变体系；图（b）为几何瞬变体系；图（c）为几何瞬变体系。第二章平面体系的几何组成分析【例2.5】对下列图示体系作几何组成分析。几何瞬变体系；第二章平面体系的几何组成分析几何瞬变体系；为无多余约束的几何不变体系；第二章平面体系的几何组成分析几何瞬变体系第二章平面体系的几何组成分析【例2.6】试对图示体系作几何组成分析。几何可变体系。第二章平面体系的几何组成分析【例2.7】分析图示链杆体系的几何组成。无多余约束的几何不变体系。ABCDFEABCD【例2.8】分析图示体系的几何组成。无多余约束的几何不变体系。第二章平面体系的几何组成分析【例2.9】分析图示体系的几何组成。BCDAE无多余约束的几何不变体系。BCDAE无多余约束的几何不变体系。BCDAE有一个无多余约束的几何不变体系。第二章平面体系的几何组成分析【例2.10】分析图示体系的几何组成。ABCDE无多余约束的几何不变体系。ABCDE无多余约束的几何不变体系。第二章平面体系的几何组成分析【例2.11】分析图示体系的几何组成。ABCDFEGH无多余约束的几何不变体系。ABCDFEGABCDFEG无多余约束的几何不变体系。第二章平面体系的几何组成分析ⅢⅡⅠ【例2.12】分析图示体系的几何组成。ABC1324DE无多余约束的几何不变体系。第二章平面体系的几何组成分析依次去掉二元体ABCDEFG后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余约束。ABCDEFG【例2.13】分析图示体系的几何组成。第二章