第二章 弹性力学的基本方程

第二章弹性力学的基本方程和一般原理§2-1载荷应力§2-2平衡（运动）微分方程§2-3斜面应力公式应力边界条件§2-4位移几何方程§2-5广义Hooke定律§2-6弹性力学问题的一般提法§2-7指标表示法§2-8迭加原理§2-9弹性力学问题解的唯一性原理§2-10圣维南原理§2-1载荷应力1.外力的表示外力：直接施加在物体上引起物体的变形与内力．根据外力作用区域分为体积力和表面力体积力：分布在物体的体积内，作用在物体内的所有质点上，例如重力、惯性力、电磁力等。体力矢量表示为：0dlimdVVVFFFSSSddlim0TTT表面力：作用在物体表面上的外力，简称面力。例如，液体或气体的压力，固体间的接触力等，通常用面力矢量2.应力在载荷的作用下，物体的各部分之间要产生相互作用，这种物体内的一部分对另一部分的相互作用力，称为内力。弹性体内一点内力集度表示为：SSTSddlim0QQ注意：同一点不同截面上的内力不同．2.应力分量应力正负号的规定：正面上的应力分量与坐标轴的正方向一致为正，负面上的应力分量与坐标的负方向一致为正；反之为负。zzzyzxyzyyyxxzxyxxij)(应力分量：1.微元体：首先，在物体内一点P的附近，用三组坐标面的平行平面截出一个微小的平行六面体单元，三条棱边的长度分别为dx、dy、dz，如图2-6示。作用在微元体上的体力的三个分量仍用和表示。§2-2平衡（运动）微分方程yxFF,zF2.力平衡微分方程由得：0Xzxzxyyzyzyxxyxyxyxxxxdddd)d(dddd)d(0ddddddd)d(zyxFyxyxzzxzxzxzx0xzxyxxFzyx0yzyyxyFzyx0zzyzxzFzyx又称纳维叶(Navier)方程。3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyyxxyzyyzxzzx3.运动微分方程。2222,tvtu22tw如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert）原理，在体力项中引入惯性力：和这里为材料密度，t为时间。运动微分方程：222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx§2-3斜面应力公式应力边界条件过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面abcAnAPabAmAPcaAlAPbczyxdd:dd:dd:的面积为dA，则三个负面的面积分别为0dddddVFAAAATxzzxyyxxxx1.四面体的平衡方程由x方向的平衡条件得：0d31hFnmlTxzxyxxx将各面面积代入得：同理可得：nmlTzxyxxxnmlTzyyxyynmlTzyzxzz上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。2.斜面上的正应力与剪应力nTmTlTzyxνTnlmnlmnmlzxyzxyzyx222222222||T3.边界条件nmlTnmlTnmlTzyzxzzzyyxyyzxyxxx上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面外法线方向余弦．§2-4位移几何方程1.位移物体内各点位置的改变量称为位移。用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：(1)物体刚体位移(2)物体内质点间相对位移2.应变xyz线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z,和表示，即方向线元的正应变分别用,xxxxdddyyyydddzzzzddd)d,d,d(zyxyzxy,zx正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z直角的变化分和表示，方向三个正交线元别用2xy2yz2zx，，符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应力的正负规定是一致的。３.几何方程几何方程是物体变形过程的位移－应变关系．设弹性体内任一点Ｐ的位移分别为u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影的变形分析来建立应变－位移关系．物体变形的位移及在坐标面上投影以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级数在Ｐ点处展开：xxvvxxuud,dyyvvyyuud,dＡ点：Ｂ点：在小变形条件下：papaappapaapxxuxxuxxuuxdd])dd[(pbpbbppbpbbpyyvyyvyyvvydd])dd[(yxxyxyapbAPB22xvxuxvxxuxxxvapaayxyx1dddtg在小变形条件下yuyvyuyyvyyyubpbbxyxy1dddtgxyuvyx,1,1yxyvxu同例分析平面yoz和平面zox可得：yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx,,,方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程§2-5广义Hooke定律1.简单应力状态E简单拉压：纯剪切：)1(2E2.复杂应力状态)]([1)]([1)]([1321yxzzxzyyzyxxxxxEEE3.体积应变///xyxyzxzxyzyz)(21zyxzyxEE21称为体积应变4.用应变表示应力)]()1[(1zyxxxEEEx1EEyy1EEzz1同理令则xyxyzxzxyzyz2,2,2yzyzE1zxzxE1xyxyE1于是式中2,22,22,2xxyzyzyyzxzxzzxyxy)21)(1(E中称为拉梅常数注意：,,xyyzzx是应变张量分量而不是剪应变分量．上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律上式还可进一步写成：xyxyzzzxzxyyyzyzxxEEEEEE)1(2,211)1(2,211)1(2,211§2-6弹性力学问题的一般提法我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动）微分方程、几何方程和应力-应变关系；0xzxyxxFzyx0yzyyxyFzyx0zzyzxzFzyx又称纳维叶(Navier)方程。(1)平衡微分方程运动微分方程：222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx(2)几何方程yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx,,,方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程(3)应力-应变关系(本构关系)1[()]1[()]1[()]xxyzyyzxzzxyEEE///xyxyzxzxyzyz应力-应变关系(本构关系)用应变表示的应力-应变关系2,22,22,2xxyzyzyyzxzxzzxyxy三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有15个未知量15个方程，可以求解。具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。（4）边界条件（ⅰ）应力边界条件nmlTnmlTnmlTzyzxzzzyyxyyzxyxxx（ⅱ）位移边界条件wwvvuu,,（ⅲ）混合边界条件§2-7指标表示法力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文献中，在理论推导采用指标表示。1.指标符号具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的字母表示。位移分量：321,,uuu)3,2,1(iuiu、v、w可以写成，缩写后为坐标：x、y、z可以写成321,,xxxix，缩写后为单位基矢量：kji,,可以写成321,,eee，缩写后为ie,,,,,,xxxyxzzxzyzz应力分量：可以写成333231131211,,,,,,缩写后为ij应变分量：可用表示由此，向量可表示为,,xyxxij在三维笛卡尔空间中，下标用小写英文母表示，并取3,2,1,,ji在二维笛卡尔空间中，下标用小写希腊字母表示，并取2,1,,a31332211iiiaaaaeeeea三阶线性代数方程组333323122322211131211PzayaxaPzayaxaPzayaxa可表示为112233(1,2,3)iiiiaxaxaxPi引用求和记号以后，还可以进一步简写为)3,2,1(31iPxaijjij2.求和约定于是上式可表示为在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，这就是爱因斯坦（Einstein）求和约定。重复指标称为哑指标（或简称哑标）。iiaeaijijPxa式中的i，不是求和指标。非求和指标称为自由指标。注意:iiiiiiicbacbacbacbacba313332221113131ijjiijjiijxxaxxa而3.求导数的简记方法ix,i)()(ijjxx,i2)()(例如:iix,jijiuxu,jkikjiuxxu,23,32,21,1,uuuuxuiiii33,22,11,,dxfdxfdxfdxfdxxfiiii4.克罗内克（Kroneker）符号)ˆcos(jijiijeeee定义:jijiij01于是100010001332331232221131211ij(1)ij具有如下性质：3iijiijAAijkjikaaijkjik(2)(3)(4)5.置换符号ijke置换符号用表示,定义:为非循环序列；若