《导数及其应用》经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例1．(1)设函数()fx在2x处可导，且(2)1f，求0(2)(2)lim2hfhfhh；(2)已知()(1)(2)(2008)fxxxxx，求(0)f.考点二导数的几何意义的应用例2:已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值例3：已知曲线y=.34313x(1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1如果函数y＝f(x)的图象如图，那么导函数y＝f(x)的图象可能是()导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则考点二求函数的单调区间及逆向应用例1求函数5224xxy的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2已知函数f(x)＝12x2＋alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数xaxxf)(的单调区间。例3若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3axxaxxf，若)(xf在]1,0(上是增函数，求a的取值范围。2.设a0,函数axxxf3)(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围。3.已知函数f(x)＝ax3＋3x2-x+1在R上为减函数，求实数a的取值范围。总结：已知函数)(xfy在),(ba上的单调性，求参数的取值范围方法：1、利用集合间的包含关系2、转化为恒成立问题（即0)(0)(//xfxf或）（分离参数）3、利用二次方程根的分布（数形结合）例4求证xxsin，（x）（证明不等式）练习：已知x1，证明xln(1＋x)．题型三函数的极值与最值考点一利用导数求函数的极值。例1求下列函数的极值：(1)f(x)＝x＋14x；(2)f(x)＝lnx＋1x.（不含参函数求极值）例2设a0，求函数f(x)＝x2＋ax(x1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求极值）例3设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．（函数极值的逆向应用）例4已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.（利用极值解决方程的根的个数问题）(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．题型四函数的最值例1求函数2,2,14)(2xxxxf的最大值与最小值。（不含参求最值）例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，试问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．(最值的逆向应用)例3已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间．(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．（利用极值处理恒成立问题）练习1已知f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。(2)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]恒有f(x)≥0成立，则a＝________.二、知识点1、函数fx从1x到2x的平均变化率：2121fxfxxx.2、导数定义：fx在点0x处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000．3、函数yfx在点0x处的导数的几何意义是曲线yfx在点00,xfx处的切线的斜率．4、常见函数的导数公式：①'C0；②1')(xx；③xxcos)(sin'；④xxsin)(cos'；⑤aaaxxln)('；⑥xxee')(；⑦axxaln1)(log'；⑧xx1)(ln'5、导数运算法则：1fxgxfxgx；2fxgxfxgxfxgx；320fxfxgxfxgxgxgxgx．6、在某个区间,ab内，若0fx，则函数yfx在这个区间内单调递增；若0fx，则函数yfx在这个区间内单调递减．7、求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．8、求函数yfx的极值的方法是：解方程0fx．当00fx时：1如果在0x附近的左侧0fx，右侧0fx，那么0fx是极大值；2如果在0x附近的左侧0fx，右侧0fx，那么0fx是极小值．9、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况10、求函数yfx在,ab上的最大值与最小值的步骤是：1求函数yfx在,ab内的极值；2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．