高等数学-第七章-微分方程

微分方程第七章yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第七章引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,.12xy因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.引例2.列车在平直路上以的速度行驶,获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,00ts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得因此所求运动规律为tts202.02说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).制动时常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或,00ts—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解21xy200ddtts引例24.022ddtsxxy2dd引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.例1.验证函数是微分方程的通解,,0Axt00ddttx的特解.解:)sincos(212tkCtkCk这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,),(21为常数CC利用初始条件易得:故所求特解为tkAxcos故它是方程的通解.并求满足初始条件求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyOx解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,转化可分离变量微分方程第二节解分离变量方程xxfyygd)(d)(可分离变量方程0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22第七章分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设y＝(x)是方程①的解,xxfxxxgd)(d)())((两边积分,得xxfd)(①则有恒等式②方程①的解满足关系式②。则有设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(①②反之，当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y＝(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)≠0时，由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.说明由②确定例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1eCC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y例3.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:练习:解法1分离变量Cxyee即01e)e(yxC(C0)解法2,yxu令故有uue1积分Cxuu)e1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1(积分例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)e1(tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kgmvt足够大时m1例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变r解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即thgSkVd2d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到),0d(dhhhhhdhhO对应下降体积hrVdd222)1(1hr22hh2d(2)dπVhhh因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:3122d(2)d2πthhhkSgm1rhhdhhO两端积分,得2πtkSg2334(h)5225Ch利用初始条件,得,1514C则得容10th器内水面高度h与时间t的关系:(s))737101(10068.125234hht可见水流完所需时间为(s)10068.14tm1rhhdhhO因此352214103(1)77152πthhkSg代入上式，以224sm8.9,m10,62.0gSk内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P298题5(2))2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤例4例5例6思考与练习求下列方程的通解:提示:xxxyyyd1d122(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln作业P2985(1);6P3041(1),(10);2(3),(4);4;6齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程第七章一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)0C此处例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.x由光的反射定律:可得OMA=OAM=例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，从而AO=OMOPAPxOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,按聚光性而AO于是得微分方程:xyy22yxyO经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.,yxv令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy得)2(22CxCy(抛物线)221)(vvCy故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)yxAO顶到底的距离为h,hdC82说明:)(222CxCy则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得)0,(2C一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程第七章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程;xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(CxxQuxxPde)(d)(两端积分得例1.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy用常数变易法求特解.,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得解得Cxu23)1(32故原方程通解为令在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例2.有一电路如图所示,电阻R和电∼LERQ解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri经过L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件:00ti由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始条件:00ti得C利用一阶线性方程解的公式可得∼LERQtLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为解的意义:∼LERQ可降阶高阶微分方程第五节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章一、)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程例1.解:12dcoseCxxyx12sine21Cxxxy2e41xy2e81xsin21xC32CxCxcos21CxCtFO例2.质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力F均匀地减直到t=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有)1(0TtFt=0时设力F仅是时间t的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得)(tF