第5章 异方差性

零均值假定ut为正态分布解释变量是确定性变量，或者xt是随机的，但与ut不相关。解释变量间无多重共线性异方差性序列相关性多重共线性随机解释变量第七章第五章第六章违背均值不为零不服从正态分布同方差假定无自相关假定经典线性回归模型的基本假定第八章5.1异方差性的含义及产生原因5.1.1异方差性的定义对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。2var()t1,2,,n)ttu常数（Var(U)=2=2nn...00......0...00..022112I.5.1.2产生异方差的原因注意：（1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差，其中截面样本中更为常见。(2)经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。1、解释变量的遗漏。2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。3、异常观测值的出现。4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。5.2异方差性的后果5.2.1对模型参数估计值无偏性的影响以简单线性回归模型为例，对模型yt=b0+b1xt+ut当Var(ut)=t2，为异方差时，以1ˆb为例：ttttukbykb11ˆ111)()ˆ(bukbEbEtt可见OLS估计量仍具无偏性。5.2.2对模型参数估计值最佳性的影响但OLS估计量不具有最佳性。1ˆb22221)var()var()var()var()ˆvar(ttttttttttkukykykykb仍以为例，22tk而变量的显著性检验中，构造了t统计量5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响变量的显著性检验失去意义。)bˆ(bˆjjst在异方差情况下，1ˆ2knee并非随机误差项方差的无偏估计量。)bˆ(js也出现偏误。导致在此基础上估计的5.3异方差性的检验检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。问题在于用什么来表示随机误差项的方差？一般的处理方法：首先用普通最小二乘法估计模型，用残差项作为随机误差项的近似估计量。于是：的方差。来近似代表随机误差项即可以用222)()var(ˆttttttteeuEuyye5.3.1图示检验法~ei2~ei2XX同方差递增异方差~ei2~ei2XX递减异方差复杂型异方差（1）用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进行初步判断（2）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）010020030005000100001500020000XY-60-40-20020406080246810121416182022242628RES（3）用残差图进行初步判断G-Q检验的前提条件：G-Q检验适用于大样本。要求观测值的数目至少是参数的两倍；随机项没有自相关且服从正态分布。5.3.2戈德菲尔德——匡特检验法G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。划分方法是：把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列，略去c个处于中心位置的观测值（通常n30时，取cn/4），余下的n-c个观测值自然分成容量相等，(n-c)/2的两个子样本。{x1,x2,…,xt-1,xt,xt+1,…,xn-1,xn}n1=(n-c)/2c=n/4n2=(n-c)/2)12,12(~kcnkcnFG—Q检验步骤：观测值大小顺序排列。、把样本按解释变量tX1头的两个子样本。个样本，把样本分为两、略去居中的c2：回归，并分别计算出行、分别对两个子样本进RSSOLS4221211,ttuRSSuRSS、计算统计量：5F)12()12(12kcnRSSkcnRSS下比较判断。、在给定的显著性水平6为异方差：为同方差：、提出检验假设。t1t0uH;uH3注意：（1）当模型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。（2）对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。（3）G—Q检验仅适用于检验递增或递减型异方差。（4）检验结果与数据剔除个数c的选取有关。（5）G—Q检验无法判定异方差的具体形式。5.3.3戈里瑟（Glejser）检验和帕克（Park）检验基本思想：假设方差与解释变量之间存在着某种幂关系。由普通最小二乘法得到残差后，取其绝对值或平方项与某个解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟合优度判断是否存在异方差。戈里瑟检验步骤：方差。验。若显著，则存在异和回归方程作显著性检进行回归，对形势作回归：有关。可以对以下函数与某一解释变量假定avXaaevXaaevXaaevXaaevXaaeXttktttktttktttktttkttkt1||1||||||||:101010210102如果回归结果表明异方差与多个变量有关，可以引入多个变量进行回归，并进行检验。帕克检验形式：t1va2t0teaxe帕克提出的假定函数形式为：Glejser和park检验的特点是：①既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。③需检验多种回归方程形式，计算量相对较大。④当原模型含有多个解释变量值时，可以拟合成多变量回归形式。2t01ttlnelnaalnxv即5.3.4怀特（H.Whitetest）检验法怀特检验的前提条件：适用于大样本。怀特检验的思想：通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差。怀特检验步骤（以二元线性回归模型为例）：01122ttttybbxbxu1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序列：2te即检验残差平方与解释变量可能的组合的显著性。2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变量以及解释变量的平方项和交叉积项做辅助回归：3、用卡方检验来检验该方程的总体显著性。(*)R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，本例为5表示渐近服从某分布。ttttttttvxaxaxxaxaxaae225214213221102可以证明，在同方差假设下LM统计量注意：（1）White检验不需要对观测值排序。（2）White检验不需要假定异方差的具体形式。（3）在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。4、比较判断怀特检验的判别规则：若样本计算的nR2值大于给定显著性水平下的临界值（p值较小），则拒绝同方差假设；若样本计算的nR2小于等于给定显著性水平下的临界值（p值较大），则接受同方差假设。5.3.5自回归条件异方差（ARCH）检验ARCH检验的思想：ARCH检验不是把原回归模型的随机误差项t2看作是xt的函数，而是把t2看作误差滞后项ut-12,ut-22,…的函数。将同方差的原假设转化为假设该自回归过程的总体显著性为零。在此基础上构造辅助回归式，并进行相应的检验。ARCH检验的步骤：222ttt1t-p222222tt1t-pt1t-p2t-p(1)OLS(2)e,e,e,,ee,e,,e,,,etnp运用对模型进行估计。计算残差序列得到。以作为的近似估计。此时，的样本观测值个数为（）个。22220222204R(np)RH(np)R~(p)5(np)R(p),(np)R(p)H（）由辅助回归函数的，计算。在成立的条件下，。（）比较与给定下的临界值若，则拒绝。作辅助回归。）对（2ptp21t102teaˆeaˆaˆeˆ35.4异方差性的解决办法5.4.1存在异方差性的OLS估计——广义最小二乘法（GLS)估计GLS是对满足普通最小二乘假定的转换变量的OLS，即先将原始变量转换成满足经典模型假定的转换变量，然后对其使用OLS程序的估计方法。相应估计量称为GLS估计量，这些估计量是BLUE。在异方差条件下，GLS实际上是一种加权最小二乘法：加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。，此时模型可变为**1*00*:tttuXbXbYt假定相异的方差已知，以一元线性回归模型为例，对于2210)(,tttttuEuXbbY可以进行变量代换，构造满足CLRM假定的回归方程。tttuXbbY10在ttttttttttuuXXXYYt***0*1，，，令,:10ttttttttuXbbY两边同除以的同方差性假定。新模型满足CLRMuEuVarttttt11])[()(222*新模型的估计步骤为：和最小，即：要使新模型的残差平方2*11*00*2*)ˆˆ(min)(minttttXbXbYe22102*11*00*2)()ˆˆ(,1ttttttttttewXbbYwXbXbYw令)1,0(0)(2tbewttt最小，即令为了使加权残差平方和tttttttttttwwywxwxxbybxxwyyxxwbGLSy;ˆˆ;)())((ˆ:***1*02***1其中，估计量为在采用WLS方法时:对较小的残差平方et2赋予较大的权数，对较大的残差平方et2赋予较小的权数。可见，在异方差条件下，GLS要求我们最小化一个以为权的一个加权残差平方和。21/ttw克服异方差的广义最小二乘法的矩阵描述。设模型为：Y=X+u其中E(u)=0，Var(u)=E(uu')=2。已知，未知。因为I，违反了假定条件，所以应该对模型进行适当修正。因为是一个n阶正定矩阵，所以必存在一个非退化nn阶矩阵M使下式成立。MM'=Inn从上式得M'M=-1用M左乘上述回归模型两侧得MY=MX+Mu取Y*=MY,X*=MX,u*=Mu,上式变换为Y*=X*+u*则u*的方差协方差矩阵为Var(u*)=E(u*u*')=E(Muu'M')=M2M'=2MM'=2I变换后模型的Var(u*)是一个纯量对角矩阵。对变换后模型进行OLS估计，得到的是的最佳线性无偏估计量。的广义最小二乘(GLS)估计量定义为ˆ(GLS)=(X*'X*)-1X*'Y*=(X'M'MX)-1X'M'MY=(X'-1X)-1X'-1Y以异方差形式Var(ut)=2xt2为例，用矩阵形式介绍克服异方差。2=22210...0nxx定义M=nxx/10...0/11从而使Var(Mu)=E(Muu'M')=M2M'=2MM'=2nxx/10...0/112210...0nxx'1/10...0/1nxx=2Inn即误差项已消除了异方差。例如，如果对一多元模型，经检验知：222)()()(jiiiiXfEVar如果未知，首先要合理确定异方差的具体形式，然后按照加权最小二乘的思路采用模型变换法处理。2t2t的具体形式可以通过经验分析获得；也可借助帕克检验、戈里瑟检验等相关检验结果确定；或者选取某个与异方差反向变动的序列表示。ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1ijikijikXfXXf)(1)(1新模型中，存在222)()(1))(1())(1(ijiijii