【红对勾 讲与练】2015届高三数学二轮复习 专题四第一讲 等差数列与等比数列课件 文 新人教A版

第一部分专题突破方略专题四数列第一讲等差数列与等比数列创新交汇大盘点03课时作业主干知识大串联01高考热点全突破02主干知识大串联01知识梳理追根求源1．等差数列的有关公式与性质(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(3)前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；③设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列．2．等比数列的有关公式与性质(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.(4)等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝amqn－m(m，n∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)；③若等比数列{an}的公比不为－1，前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等比数列．3．等差、等比数列的判定与证明方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列；an＋1an＝q(q为非零常数)⇔{an}是等比数列；(2)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)⇔{an}是等比数列(注意等比数列的an≠0，q≠0)；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列；(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可．1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝()A．8B．10C．12D．14解析：S3＝3a1＋3d＝12，将a1＝2代入得公差d＝2，故a6＝a1＋5d＝12，从而选C.答案：C2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.nn＋12D.nn－12答案：D解析：由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋nn－12×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．答案：A3．(2014·重庆卷)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：从项的下标寻找规律，下标成等差数列的，对应的项成等比数列．设等比数列的公比为q，因为a6a3＝a9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.答案：D4．(2014·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析：∵{an}是等差数列，∴S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，又S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12.答案：－125．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案：50高考热点全突破02考点突破解码命题高考经常考查等差(等比)中a1、n、d(q)、an与Sn的基本运算，或考查等差、等比数列的交汇计算．求解这类问题要重视方程思想与整体思想的应用，难度中档．等差数列、等比数列的基本运算【例1】(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【标准解答】(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋4n－2]2＝2n2.令2n260n＋800，即n2－30n－4000，解得n40或n－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.类题通法1．(2013·全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－19解析：{an}为等比数列，当q＝1时，a1＝a5＝9；S3＝3a1＝a1＋10a1得a1＝0矛盾，故q≠1此时S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，化简得a3＝9a1，即a1q2＝9a1，∴q2＝9，而a5＝a1q4＝9，所以a1＝19，故选C.答案：C2．在等比数列{an}中，已知a3＝8，a6＝64.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.由已知得8＝a1q2,64＝a1q5，解得q＝2，a1＝2.∴an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝n－16＋12n－282＝6n2－22n.等差(比)数列的证明是高考命题的重点和热点，多在解答题中的某一问出现，一般用定义法直接证明，主要考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．等差数列与等比数列的判定与证明【例2】(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【标准解答】(1)由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．类题通法数列{an}是等差或等比数列的证明方法1证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－ann∈N*为常数；②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1n≥2.2证明{an}是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明n∈N*为一常数；②利用等比中项，即证明＝an－1an＋1n≥2，an≠0.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－1194，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn－an}为等比数列．解：(1)由Sn＝Sn－1＋an－1＋12得Sn－Sn－1＝an－1＋12，即an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以12为公差的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)×12＝12n－14(n∈N*)．(2)证明：∵3bn－bn－1＝n(n≥2)，∴bn＝13bn－1＋13n(n≥2)，∴bn－an＝13bn－1＋13n－12n＋14＝13bn－1－16n＋14＝13bn－1－12n＋34(n≥2)，bn－1－an－1＝bn－1－12(n－1)＋14＝bn－1－12n＋34(n≥2)．∴bn－an＝13(bn－1－an－1)(n≥2)，∵b1－a1＝－30≠0，∴bn－anbn－1－an－1＝13(n≥2)，∴数列{bn－an}是以－30为首项，13为公比的等比数列．高考常考查以下两方面内容：①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值．等差数列与等比数列的性质及应用【例3】(1)(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6(2)在正项等比数列{an}中，a2，a48是方程2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A.212B．93C．±93D．35(3)正项等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.5＋12或5－12B.5＋12C.5－12D.1－52【标准解答】(1)由题意得am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，由{an}是等差数列可得d＝am＋1－am＝1，由am＝2，Sm＝0得：a1＋(m－1)＝2，ma1＋mm－12＝0，解得a1＝－2，m＝5，故选C.(2)依题意知a2·a48＝3.又a1·a49＝a2·a48＝a225＝3，a250，∴a1·a2·a25·a48·a49＝a525＝93.选B.(3)因为a2，12a3，a1成等差数列，所以a3＝a1＋a2.∴q2＝1＋q.又q0，解得q＝1＋52，故a3＋a4a4＋a5＝a3＋a4a3＋a4q＝1q＝5－12.选C.类题通法等差、等比数列性质的应用技巧1等差数列与等比数列有很多性质很类似，但又有区别，学习时需对比记忆，灵活应用.2等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用.3应用等差数列、等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式.4．(1)设数列{an}是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝()A．5B．6C．5或6D．6或7(2)已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为()A．4B．6C．8D．－9(3)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝()A．150B．－200C．150或－200D．400或－50解析：(1)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．(2)∵a4＋a8＝－