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2018年初中数学中考名师面对面专题指导第六讲最大小值类问题(一)考点解析:最值问题,也就是最大值和最小值问题,这类问题出现的试题,内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度.最值问题一般有三类,一是以几何背景的最值问题,一般可以看成是运动变化的图形在特殊位置时,与图形有关的几何量达到最大或最小值;二是有关函数的最值问题,如一次函数、反比例函数和二次函数;三是实际背景问题,来求最优化问题.关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题化归与转化为相应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突破(二)考点训练考点1:线段之和最值问题【典型例题】:(2017贵州安顺)如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为6.【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;KK:等边三角形的性质;LE:正方形的性质.【分析】由于点B与D关于AC对称,所以连接BD,与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小,而BE是等边△ABE的边,BE=AB,由正方形ABCD的边长为6,可求出AB的长,从而得出结果.【解答】解:设BE与AC交于点P,连接BD,∵点B与D关于AC对称,∴PD=PB,∴PD+PE=PB+PE=BE最小.即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度;∵正方形ABCD的边长为6,∴AB=6.又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=6.故所求最小值为6.故答案为:6.【变式训练】:(2017毕节)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点,E,F分别是AD,AC上的动点,则CE+EF的最小值为()A.B.C.D.6【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;KF:角平分线的性质.【分析】依据勾股定理可求得AB的长,然后在AB上取点C′,使AC′=AC,过点C′作C′F⊥AC,垂足为F,交AD与点E,先证明C′E=CE,然后可得到CE+EF=C′E+EF,然后依据垂直线段最短可知当点C′F⊥AC时,CE+EF有最小值,最后利用相似三角形的性质求解即可.【解答】解:如图所示:在AB上取点C′,使AC′=AC,过点C′作C′F⊥AC,垂足为F,交AD与点E.在Rt△ABC中,依据勾股定理可知BA=10.∵AC=AC′,∠CAD=∠C′AD,AE=C′E,∴△AEC≌△AEC′.∴CE=EC′.∴CE+EF=C′E+EF.∴当C′F⊥AC时,CE+EF有最小值.∵C′F⊥AC,BC⊥AC,∴C′F∥BC.∴△AFC′∽△ACB.∴=,即=,解得FC′=.故选:C.考点2:线段之差或线段最值问题【典型例题】:(2017.湖南怀化)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为10﹣10cm.【考点】L8:菱形的性质;KH:等腰三角形的性质.【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底.②若以边PB为底.③若以边PC为底.分别求出PD的最小值,即可判断.【解答】解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP最小,最小值为10﹣10;③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;综上所述,PD的最小值为10﹣10(cm);故答案为:10﹣1.【变式训练】:(2017湖南怀化)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为10﹣10cm.【考点】L8:菱形的性质;KH:等腰三角形的性质.【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底.②若以边PB为底.③若以边PC为底.分别求出PD的最小值,即可判断.【解答】解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP最小,最小值为10﹣10;③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;综上所述,PD的最小值为10﹣10(cm);故答案为:10﹣1.方法归纳总结:点P为任意一点时,要探究PA-PB的最大值,可数形结合,将其转化为相关图形(三角形),三边关系始终满足两边之差小于第三边(|PA-PB︱AB),而当点A,B,P在同一直线上时存在PA-PB=AB,此时AB为最大值,今后有关两线段之差的最大值问题,常借助“三角形两边之差小于第三边”,将其最大值转化为一条特殊(三点共线)线段的长.考点3:表面展开最值问题【典型例题】:我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是25尺.【分析】这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开后可转化下图,所以是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.【解答】解:如图,一条直角边(即枯木的高)长20尺,另一条直角边长5×3=15(尺),因此葛藤长为=25(尺).故答案为:25.方法归纳总结:平面展开最短路径问题,关键是把立体图形展成平面图形,本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解.考点4:图形周长最值问题【典型例题】:(2017.湖南怀化)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;(3)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)根据待定系数法直接抛物线解析式;(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标;(3)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值;(4)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,∴,∴,∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5,(2)如图1,令x=0,则y=﹣5,∴C(0,﹣5),∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45°,∴AB=6,BC=5,要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或,①当时,CD=AB=6,∴D(0,1),②当时,∴,∴CD=,∴D(0,),即:D的坐标为(0,1)或(0,);(3)设H(t,t2﹣4t﹣5),∵CE∥x轴,∴点E的纵坐标为﹣5,∵E在抛物线上,∴x2﹣4x﹣5=﹣5,∴x=0(舍)或x=4,∴E(4,﹣5),∴CE=4,∵B(5,0),C(0,﹣5),∴直线BC的解析式为y=x﹣5,∴F(t,t﹣5),∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,∵CE∥x轴,HF∥y轴,∴CE⊥HF,∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2(t﹣)2+,当t=时,四边形CHEF的面积最大为.(4)如图2,∵K为抛物线的顶点,∴K(2,﹣9),∴K关于y轴的对称点K'(﹣2,﹣9),∵M(4,m)在抛物线上,∴M(4,﹣5),∴点M关于x轴的对称点M'(4,5),∴直线K'M'的解析式为y=x﹣,∴P(,0),Q(0,﹣).【变式训练】:(2017湖南怀化)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;(3)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)根据待定系数法直接抛物线解析式;(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标;(3)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值;(4)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,∴,∴,∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5,(2)如图1,令x=0,则y=﹣5,∴C(0,﹣5),∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45°,∴AB=6,BC=5,要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或,①当时,CD=AB=6,∴D(0,1),②当时,∴,∴CD=,∴D(0,),即:D的坐标为(0,1)或(0,);(3)设H(t,t2﹣4t﹣5),∵CE∥x轴,∴点E的纵坐标为﹣5,∵E在抛物线上,∴x2﹣4x﹣5=﹣5,∴x=0(舍)或x=4,∴E(4,﹣5),∴CE=4,∵B(5,0),C(0,﹣5),∴直线BC的解析式为y=x﹣5,∴F(t,t﹣5),∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,∵CE∥x轴,HF∥y轴,∴CE⊥HF,∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2(t﹣)2+,当t=时,四边形CHEF的面积最大为.(4)如图2,∵K为抛物线的顶点,∴K(2,﹣9),∴K关于y轴的对称点K'(﹣2,﹣9),∵M(4,m)在抛物线上,∴M(4,﹣5),∴点M关于x轴的对称点M'(4,5),∴直线K'M'的解析式为y=x﹣,∴P(,0),Q(0,﹣).考点5:函数最值问题【典型例题】:(2017贵州安顺)如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.(1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若
本文标题:2018年初中数学中考名师面对面专题指导:2018年初中数学中考名师面对面专题指导6:最大小值类问题
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