解析几何定点定值和最值问题

1解析几何的定点、定值问题1、已知平面内的动点P到定直线l：22x的距离与点P到定点2,0F之比为2．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为1k、2k，问21kk是否为定值？（3）若点M为圆O：422yx上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？2、已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，一条准线为:4lx，若椭圆C与x轴交于,AB两点，P是椭圆C上异于,AB的任意一点，直线PA交直线l于点M，直线PB交直线l于点N，记直线,PAPB的斜率分别为12,kk.（1）求椭圆C的方程；（2）求12,kk的值；（3）求证：以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点的坐标.3、已知圆22:9Cxy，点(5,0)A，直线:20lxy.⑴求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；⑵在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.4、已知椭圆E：22184xy的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P，使得12GFGP？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.yAMPNxOB（第2题图）xyOAPB25、已知221(5)5(13)CxyA:，点，．（Ⅰ）求过点A与1C相切的直线l的方程；（Ⅱ）设21CC为关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为2？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．6、已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为21FF、，其半焦距为c，圆M的方程为.916)35(222cycx（Ⅰ）若P是圆M上的任意一点，求证：21PFPF为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q，且1611cos21QFF，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若OOQ(331为坐标原点），求圆M的方程。7、已知椭圆E：14822yx的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得21GPGF？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．8、已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为2x，点P在准线l上，纵坐标为13(0)ttttR,，点Q在y轴上，纵坐标为2t．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程。39、设圆221:106320Cxyxy，动圆222:22(8)4120Cxyaxaya（1）求证：圆1C、圆2C相交于两个定点；（2）设点P是椭圆2214xy上的点，过点P作圆1C的一条切线，切点为1T，过点P作圆2C的一条切线，切点为2T，问：是否存在点P，使无穷多个圆2C，满足12PTPT？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．10、在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)4Cxy和圆222:(4)(4)4Cxy(1)若直线l过点(4,1)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆1C和圆2C都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.4解析几何的定点、定值问题1、已知平面内的动点P到定直线l：22x的距离与点P到定点2,0F之比为2．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为1k、2k，问21kk是否为定值？（3）若点M为圆O：422yx上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？1．解：（1）设点,Pxy，依题意，有2222222xyx．----------2分整理，得22142xy．所以动点P的轨迹C的方程为22142xy．-------------5分（2）由题意：设N),(11yx,A),(22yx，则B),(22yx1242121yx,1242222yx---------------7分21kk=2121x-xy-y2121xxyy＝22212221x-xy-y＝22122212112-x-2x122x-x2为定值。-----------------------------10分设（3）M),(00yx，则切线MQ的方程为：400yyxx由22400xyyxx得Q)224,22(00yx------------12分),2(00yxFM，OQ)224,22(00yxFMOQ=02244220000yxyx----------15分所以：FMOQ即MF与OQ始终保持垂直关系-------------16分2、已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，一条准线为:4lx，若椭圆C与x轴交于,AB两点，P是椭圆C上异于,AB的任意一点，直线PA交直线l于点M，直线PB交直线l于点N，记直线,PAPB的斜率分别为12,kk.（1）求椭圆C的方程；（2）求12,kk的值；（3）求证：以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点的坐标.yAMPNxOB（第2题图）53、已知圆22:9Cxy，点(5,0)A，直线:20lxy.⑴求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；⑵在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.3．解：⑴设所求直线方程为2yxb，即20xyb，直线与圆相切，∴22||321b，得35b，∴所求直线方程为235yx---------------5分⑵方法1：假设存在这样的点(,0)Bt，当P为圆C与x轴左交点(3,0)时，|3|2PBtPA；当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，|3|8PBtPA，[来源:学*科*网]依题意，|3||3|28tt，解得，5t（舍去），或95t。---------------------------8分下面证明点9(,0)5B对于圆C上任一点P，都有PBPA为一常数。设(,)Pxy，则229yx，∴22222222229188118()9(517)9552525(5)102592(517)25xyxxxxPBPAxyxxxx，从而35PBPA为常数。----------------------------15分方法2：假设存在这样的点(,0)Bt，使得PBPA为常数，则222PBPA，∴22222()[(5)]xtyxy，将229yx代入得，22222229(10259)xxttxxxx，即2222(5)3490txt对[3,3]x恒成立，---------------------------8分∴22250,3490,tt，解得3595t或15t（舍去），所以存在点9(,0)5B对于圆C上任一点P，都有PBPA为常数35。---------------------15分4、已知椭圆E：22184xy的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P，使得12GFGP？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.4．（1）由椭圆E：22184xy，得l：4x，(4,0)C，(2,0)F，又圆C过原点，所以圆C的方程为22(4)16xy．………………………………4分（2）由题意，得(3,)GGy，代入22(4)16xy，得15Gy，所以FG的斜率为15k，FG的方程为15(2)yx，…………………8分（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）所以(4,0)C到FG的距离为152d，直线FG被圆C截得弦长为215216()72．故直线FG被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设(,)Pst，00(,)Gxy，则由12GFGP，得22002200(2)12()()xyxsyt，整理得222200003()(162)2160xysxtyst①，…………………………12分又00(,)Gxy在圆C：22(4)16xy上，所以2200080xyx②，②代入①得2200(28)2160sxtyst，…………………………14分xyOAPB6又由00(,)Gxy为圆C上任意一点可知，22280,20,160,stst解得4,0st．所以在平面上存在一点P，其坐标为(4,0)．…………………………16分5、已知221(5)5(13)CxyA:，点，．（Ⅰ）求过点A与1C相切的直线l的方程；（Ⅱ）设21CC为关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为2？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．5．解：（1）11(0,5),5Cr，因为点A恰在1C上，所以点A即是切点，11351212CAKk，所以，所以，直线l的方程为13(1),2502yxxy即；………………（8分）（2）因为点A恰为C1C2中点，所以，2(2,1)C，所以，222(2)(1)5Cxy：，设21225(,0)25PCPaPC，①，或2221525PCPC②，……………………（11分）由①得，2220210(20)(100)(2)4aaPa，解得或，所以，，或，，由②得，224220aaa，求此方程无解。综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意．………………（16分）6、已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为21FF、，其半焦距为c，圆M的方程为.916)35(222cycx（Ⅰ）若P是圆M上的任意一点，求证：21PFPF为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q，且1611cos21QFF，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若OOQ(331为坐标原点），求圆M的方程。6、解：（Ⅰ）设),(yxP是圆M上的任意一点，则分44)35(916)()35(916)()()(22222222222221cxccxcxccxycxycxPFPF分定值5)(221PFPF（Ⅱ）在△,23,,2,,2212121mamQFmQFQcFFQFF则设在圆上点中，分离心率为得分　由即1021,4,4948,cos2244.32222221222aceacmcQFFmmmmcam分所求圆方程为分解得分）（16.916)35(,14321