第四章 轴向拉伸和压缩

第四章轴向拉伸和压缩4.1轴向拉伸和压缩的概念当作用在等截面直杆上的外力（或者外力合力）的作用线和杆轴重合时，杆件的主要变形是轴向拉伸或者压缩。经历轴向拉伸（压缩）的等截面直杆称为拉（压）杆。轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图FFFF为简单起见，也可以把拉压杆用一条粗直线表示FFFF4.2拉（压）杆的内力轴力:等截面直杆在经历轴向拉伸或者压缩时，杆中任一截面上的内力的合力的方向都和杆轴线方向重合，这种顺延杆轴线方向的内力合力称为轴力。轴力的正负规定:NFNFNFNF0NF0NF当轴力方向与截面的外法线同向时,轴力为正(拉力)当轴力方向与截面的外法线反向时,轴力为负(压力)nnnn正轴力对留下部分起拉伸作用，负轴力对留下部分起压缩作用。正轴力背离截面，负轴力指向截面。这样规定以后，在进行轴力显示和计算时，无论保留哪一部分，所求得的任一截面上的轴力的正负号都是一样的。①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，为强度计算提供依据。xF+意义轴力图——(x)的图象表示。NFNF轴力图：为了表示轴力随截面位置的变化，可以画出轴力沿杆轴线方向变化的图形，即轴力图。轴力图的作法：1用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置；2用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力的数值；3习惯上将正轴力画在上侧，负轴力画在下侧，并标上正负号。[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力FN1：设置截面如图ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFDFN10X01DCBANFFFFF04851FFFFFNFFN21同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：FN2=–3FFN3=5FFN4=F轴力图如右图BCDFBFCFDFN2CDFCFDFN3DFDFN4x2F3F5FF++–NF+ABCDFN2=–3F表明该轴力方向与预设方向相反，其效果为压。如果只受集中荷载，则轴力(图)的简便求法：自左向右,轴力从0开始，轴力图的特点：突变值=集中载荷值5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN遇到向左的F，轴力增量为正F；遇到向右的F，轴力增量为负F。NFNF如果左端是约束，需先求出约束反力（约束反力也是外力）8kN3kN轴力沿杆件分段为常量时轴力图的简便作法：分段点：集中载荷作用点，截面突变处OBCD4F3F2F2A2AA如果杆件由几段不同截面的等直杆构成，轴力的计算方法和单一截面的轴力计算方法一样。3FF2F++–NF+ABCD4.3拉（压）杆的应力（1）问题提出：FFFF4.根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的，一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不同。1.两杆的轴力都为F.5.要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道：①度量分布内力大小的分布内力集度－应力。②材料承受荷载的能力。3.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的轴向拉力较大。1.应力的概念：截面F1F2F3分布内力AF△A上的内力平均集度为:ΔΔmAFp当△A趋于零时，pm的大小和方向都将趋于某一极限值。Δ0Δ0ΔlimlimΔmAAdAdAFFpp（2）应力的表示：大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度(应力)最大处开始。pm称为面积△A上的平均应力。p称为该点的总应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。F1F2pp是M点的总应力，一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，可以对其进行分解为两部分：垂直于截面的应力分量:σσ相切于截面的应力分量:ττσ正应力（normalstress）τ切应力（shearstress）应力单位:牛顿/米2，帕斯卡（Pa）1KPa=1000Pa1MPa=1000KPa1GPa=1000MPap称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。M应力正负号规定•正应力：离开截面的正应力为正，指向截面的正应力为负。•切应力以其对分离体内一点产生顺时针转向的力矩时为正值的切应力，反之，则为负的切应力。•切应力的说法只对平面问题有效。1应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。（3）.应力的特征：2在某一截面上一点处的应力是矢量。3应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕斯卡，1Pa＝1N/m2,1MPa=106Pa,1GPa=109Pa4根据应力的定义，整个截面上各点处应力与微元面积dA的乘积的合成，即为该截面的内力。AdAFp2、拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的内力即为轴力。也就是横截面上各点应力与微元面积dA的乘积的合成。轴力是和截面垂直的。因为切应力不可能合成与截面垂直的合力，所以轴力只可能是正应力的合成，所以NAFdA变形前（1）变形规律试验及平面假设：变形后所有纵线都伸长了，所有横线都依然保持为直线，并且与纵线垂直。受载后FFFF假如将杆假想为由无数根纵向纤维组成。则各纤维的伸长都相同。因此可作如下假设：（2）平面假设：直杆经历轴向拉（压）时，原为平面的横截面（横线就代表杆的横截面）在变形后仍为平面。假如材料是均匀的，那么，相同的内力将引起相同的变形，反过来，相同的变形必然是由于相同的内力引起的。因为拉压杆每根纤维的伸长都相同，所以它的任意点的内力集度（应力）都是相同的。也就是说，拉（压）杆横截面上的应力分布是均匀的。因此NAAFdAdAANFAFN：轴力σ：正应力（3）拉压正应力的正负号规定：FNFAFN规定：正应力和轴力正负号是一致的。正的正应力为拉应力，负的正应力为压应力。必须指出，因为上面推导拉压杆横截面上的正应力时假定横截面上正应力是均匀的。其实这只在离外力作用点较远的部分才是正确的。在外力作用点附近，应力分布较为复杂。（4）公式的应用条件：因此，上式严格成立的条件是：1、拉（压）杆的截面无突变；2、所考察的截面到载荷作用点有一定的距离。荷载作用点附近应力示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：应力分布示意图：（5）圣维南（Saint-Venant）原理：不过，圣维南（圣文南）原理指出：“力作用于杆端方式的不同，只会使杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。”也就是说，离开荷载作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。qqFFaaFFaa如果只考察中间段，则不管受力方式如何（均布力或集中力），均可得到相同的应力分布。我们研究的杆件的横向尺寸相比纵向尺寸来说一般很小，因此，如非特别说明，可以忽略杆端不同力作用方式的影响。危险截面的特点：1如截面积相同，则是轴力最大的面；2如轴力相同，则是截面尺寸最小的面。（6）危险截面及最大工作应力：AFNmax,max对于等截面直杆，有如果等截面直杆受多个轴向外力的作用，由轴力图可以求出最大轴力，从而求出最大正应力。如果直杆横截面积变化，则最大轴力处的截面上不一定具有最大正应力。当正应力达到某一极限值时，杆件将在最大正应力处产生破坏。因此，具有最大正应力的截面叫做危险截面。危险截面上的正应力称为最大工作应力。5.危险截面及最大工作应力——例题：max3NFF可以看到：最大轴力在OB段max2FA最大正应力在CD段最大正应力并不在最大轴力的截面上！OBCD4F3F2F2A2AA三、拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力F作用。求：斜截面k-k上的应力。FFkka解：采用截面法由平衡方程：Fa=F则：aaaAFpAa：斜截面面积；Fa：斜截面上内力。由几何关系：aaaacoscosAAAA代入上式，得：aaaaacoscos0AFAFp斜截面上总应力：aacos0pFkkaFaFFkka斜截面上总应力：aacos0pFkkaFa分解：paaaaa20coscospaaaaaa2sin2sincossin00paaa当a=0°时，)(0maxa(横截面上存在最大正应力)当a=±45°时，2||0maxa(45°斜截面上切应力达到最大)当a=0°时，0||mina以上分析结果对压杆也适用。63.7MPa127.4/2/2στ0maxMPa5.95434.127cos20aa0127.4sin2sin6055.2MPa22aaMPa4.1271014.310000420AF例直径d=1cm杆受拉力F=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：4.4拉（压）杆的变形各段的变形程度可以用每单位长度的纵向伸长来表示。每单位长度的伸长，叫做线应变，用ε表示。lllll11纵向变形和横向变形lll1abcdxl只反映整根杆的总变形量，而无法说明沿杆长度方向各段的变形程度。l如果杆的各段伸长是均匀的，那么一原长为l的拉杆受力F的拉伸作用后其长为l1，则杆的纵向伸长为可见：线应变的正负号和杆的伸长量一致。杆受拉伸时，线应变为正。当杆受压时，线应变为负。lllll1dd1拉杆纵向伸长时，同时伴随着横向缩短。若拉杆为圆截面，原始直径为d，变形后直径为d1，则横向变形为1ddd'dd同样，如果每部分的横向变形都是均匀的，可以定义拉杆的横向线应变为因为10ddd'0所以如果横截面是矩形，横向线应变又会是什么样的呢？1bbb'bhbh以上推导过程同样适用于压杆，只不过对于压杆，纵向线应变为负，横向线应变为正。bhb1h11hhhFllAFlFlEAEA1、拉压杆的变形量与其所受力之间的关系和材料的性能有关，并且只能通过实验来获得。对于工程中常用材料制成的拉压杆，一系列实验证明：当杆内的应力不超过某一极限值时，杆的伸长△l与其所受外力F，杆的原长度l成正比，而与其横截面积A成反比。即E称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。这一关系称为胡克定律。引入比例常数E，可有2胡克定律NFFNNFlFFllEAEAEA在拉压杆中，有变截面拉压杆的弹性定律1nNiiiiiFllEA当内力在n段中分别为常量时或者每段的截面积不同时OBCDF3A1A2A3F1F2虽然整段杆OD不满足胡克定律的适用条件，但OB段、BC段和CD却能分别满足胡克定律，因此，我们可按胡克定律分别求OB、BC、CD三段杆的伸长量，然后相加得到杆OD的总伸长量。※“EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。:E即3泊松比（或横向变形系数）EAFEllN11因为NFA所以这是胡克定律的另一种表达形式。可见，拉压杆的应力和应变的符号一致。对于横向线应变，实验指出：当拉压杆的应力不超过某一比例极限时，横向线应变与纵向线应变的绝对值之比为一常数，即称为横向变形系数，也叫泊松比。泊松比量纲为1，它也是材料本身的属性，需要用实验来测定。E因为纵向线应变和横向线应变正负号刚好相反，所以•例1一拉压杆长度和受力如图所示，若横截面积A＝200mm2，弹性模量E＝200GPa，求杆的总伸长。ABCD2m1m1m20kN40kN60kN0.5lmmABCDP1P2100100100试求：(1)各段杆横截面上的内力和应力；(2)杆的总伸长。•例2一构件如图所示，已知：P