1.1.2弧度制.1ppt

生活中，存在着各种不同的度量单位制，比如度量长度用的千米、尺、码等，度量重量用的吨、斤、磅等，不同单位制能给解决问题带来便利，角的度量除了用度之外，是不是还有其他的单位制呢？知识回顾1.1.2弧度制理解弧度制的含义；弧度数的绝对值公式；会弧度与角度的换算。教学目标知识与能力了解弧度制，并能进行弧度与度的换算。弧度的概念。教学重难点难点：重点：角的度量角度制弧度制11360度的角等于周角的把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。定义：符号：rad读作：弧度。OBA1radl就是1弧度的角。AOBÐ如图，圆O的半径是1，的长等于1,l2弧度rOABl=2r3rr3rad若l=3r，则∠AOB==3弧度。lr若l=2r，则∠AOB==2弧度；lrl=3rOABr-3弧度若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是=3，即∠AOB=－=－3弧度。lrlr1、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是圆的所对的圆心角（或该弧）的大小；1360xyOαBAx（１）当圆心角一定时，它所对弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关。3、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．xyOＤＣx（２）αlr（l为弧长，r为半径）角的弧度数的绝对值弧度数的绝对值公式一般地，我们规定：正角的弧度数是正数。负角的弧度数是负数。零角的弧度数是0。用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）。周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360。用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，数量也不同。如图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合，交圆与点A，终边与圆交与点B.请在下列表格中填空。xyOαBAx探究的长OB旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向逆时针方向1顺时针－2顺时针0未旋转0逆时针方向逆时针方向AOBÐAOBÐr2rr2rrr2r2p-2°180°180°180-°114.6-°57.3°360°360°0AB由上表可知，如果一个半径为ｒ的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度制的绝对值是||lra=rrlll；。其中:1、是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是半径；2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；2πr3、圆心角θ为周角时，=2πr，则θ==2πrπr4、圆心角θ为半角时，=πr，则θ==πrl|α|=r例1：已知扇形的周长是6cm，面积是2cm²，则扇形的圆心角的弧度数是（）Ａ．1Ｂ．1或4Ｃ．4Ｄ．2或4BA“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位136012Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关例2：下列选项中，错误的是（）DＢ．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360。∴360°=2πrad；180°=πrad.°π1=rad≈0.01745rad180°°1801rad=（）≈57.30π180°=πrad锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，直角：{θ|θ=90°}钝角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}周角：{θ|θ=360°}例3：请用弧度制表示下列角度的范围.πθ=2θ=πθ=2π0,2πθπθπ2，0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}0°到180°的角：{θ|0°≤θ180°}0°到360°的角：{θ|0°≤θ360°}θ0π，πθ02，πθ-2，θ02π，1278-p136例4：将下列弧度转化为角度：=°；（3）=°.（1）=°′；（2）15－15730390（1）36°=（rad）；练习:将下列角度转化为弧度：（3）37°30′=（rad）.（2）－105°=（rad）；57π-12524π角度弧度0601201352704π2π56ππ2π306π453π9023π34π15018032p3600注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.但如果以度（。）为单位表示角时，度（。）不能省略.1、弧度制下角的集合与实数集的一一对应：正角零角负角正实数零负实数2、求弧长：α=Rl例6:利用弧度制证明扇形面积公式其中是l扇形弧长，R是圆的半径。1S=lR2比较这与扇形面积公式要简单.2扇nπRS=360lradR弧长为l的扇形圆心角为∴R21π2π证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：oRSl∴lRlRR211S=π=2π2例6:直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴⑵4π3o165解：r=10cm（）´4π40π1l=α×r=10=(cm)33（）´oπ11π2165=165(rad)=rad18012所以´11π55πl=10=(cm)126已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，解：l+2r=30则有骣÷ç´÷ç÷ç桫21115225S=rl=(30-2r)r=-r-+2224∴例7：l=30-2r∴此时1530-22==2152´lα=r（弧度）。15r=22225cm4当时，扇形面积的最大值是∴课堂小结1、弧度制的概念2、弧度制和角度制的比较与换算具体总结如下表：弧度制角度制度量单位弧度角度单位规定等于半径的长的圆弧所对应的圆心角叫1的角周角的为1度的角换算关系rad3601π=180°1rad=30.5718057°18′，1°=π180rad=0.01745rad－300°化为弧度是（）1、Ｂ4π-3Ｂ．Ｄ．Ａ.Ｃ．5π-37π-47π-6课堂练习2、67°30′化成弧度。解：3、把化成度。35πrad解：oo33πrad=180=10855´oo6730'=67.5∵oπ36730'=rad67.5=πrad1808∴4、如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。oAB解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有.rl21S==2(cm)2∴扇形的面积rlrllr2+=6=2=2=15、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。lRR==a∵弧长36,2RR==∴()21S==2cm2Rl于是6、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形面积。o2πα=120=,r=63解：由∴∴又∵ΔΑΟΒS=S-S=12π-93弓形扇形∴l2π=r|α|=6=4π3l11S=r=4π6=12π22扇形22ΔΑΟΒ12π13S=rsin=6=9323221、（1）（2）（3）π87π-620π32、（1）15°（2）－240°（3）54°3、（1）（2）教材习题答案α|α=kπ,kΖπα|α=+kπ,kΖ25、3m6、弧度数为1.24、（1）ocos0.75cos0.75otan1.2tan1.2（2）