07--4、电介质中的电场高斯定理

一、电介质中的电场电介质中的电场等于自由电荷产生的电场与极化电荷产生的附加电场之和（矢量和）：EEE0下面我们以平行板电容器为例求电介质中的场强：++++++++--------＋σ’－σ0＋σ0－σ’0EEd设电容器带有电量q0，其间无电介质时，两板间电势差为U0，电容值为C0；当充满相对介电常数为εr的电介质时，电势差为U，电容值为C。由电容器的定义有：UqCUqC0000两式相比，得：UUCC00§7-4电介质中的电场有电介质时的高斯定理电位移电介质放入电场中，在电介质中EEE0是由自由电荷激发的是由束缚电荷产生的0EEE0E根据电势差与电场间的关系：EdUdEU,00有注意到,0CCrUUCC00很明显，极化电荷的电场E’部分地削弱了自由电荷的电场E0，从而使介质中的总电场E减少为真空中电场的1/εr。rEE0设极板上的自由电荷面密度为±σ0，电介质表面上的极化电荷面密度为±σ’，由“无限大”均匀带电平行板场强公式：E=E0-E’000)11(r注意，上面得到的总电场E与真空中电场E0的关系式，以及自由电荷面密度σ0与极化电荷面密度σ’的关系式，并非普适关系式，仅在均匀各向同性介质充满电场存在的空间时才成立。例1、平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷，面密度为9.0×10–6C/m2，在两极板间充满介电常数3.5×10–11C2/（Nm2）的电介质，求（1）自由电荷产生的场强；（2）电介质内的场强；（3）电介质表面上的极化电荷的面密度；（4）极化电荷所产生的场强。解：（1）自由电荷所产生的场强（在真空中）为V/m6126000101.02108.85109.0εσEV/m5116000r0r0102.57103.5109.0εσ可知电介质内的场强为εσεεσε由(2)EEE（3）极化电荷面密度为：26611101100/107.6100.9105.31085.8105.3mC（4）极化电荷所产生的场强为：mVEEEEEEmVE/106.71057.21002.1/106.71085.8107.65560051260得或由由此可见，所得的结果相同。+++++++-------前面我们已学习了真空中的高斯定理，现在，我们将它推广到有介质时的情况。我们仍以充满相对介电常数εr的平行板电容器为例进行讨论：极板上的自由电荷面密度为σ0，+σ0相邻介质表面的极化电荷面密度为-σ’，-σ’根据真空中的高斯定理，在电场中任作一闭合曲面S，通过该闭合曲面的电通量为：)(01内qsdES其中q（内）是曲面内所有电荷的代数和。为方便计，我们取如图的长方形闭合曲面S，其上、下底面与极板平行，面积均为A，上底面在正极板内，下底面在电介质内。二、有介质时的高斯定理这样，闭合曲面S内的自由电荷q0=σ0A，而极化电荷q’=－σ’A，高斯定理写为：)(100AAsdES代入前面已得到的，自由电荷与极化电荷面密度间的关系式，有：rrqAAA000代入高斯定理有：ε=ε0εr定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为电位移矢量，即：ED则得到有介质时的高斯定理：SqsdD（内）0几点说明：(1)我们是从平行板电容器这个特例推出有电介质的高斯定理的，但它是普遍适用的，是静电场的基本规律之一；(2)电位移矢量D是一个辅助物理量，真正有物理意义的是电场强度矢量E，引入D的好处是在高斯定理的表达式中，不出现很难求解的极化电荷；(3)与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述D矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要注意，D线与E线是不同的；(4)引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为：“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和”。(5)电位移的单位是“库仑每平方米”，符号为：C/m2，（这也就是电荷面密度的单位），其量纲是IL-2T。例2、一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大”的电介质中（介电常数为ε），求：（1）球外任意一点P的场强；（2）与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。（1）如图所示，过P点作与金属球同心的球面S，由高斯定理知：++++SP2002044rqDqDrqsdDS即所以2002044rqrqDEPEDr点的场强为：，所以因（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为-q’，在球面S内有自由电荷q0及极化电荷-q’，应用真空中的高斯定理于球面S：00000002200200000111444)(11qqqqqqrrqdSrqEdSSdEqqqSdErrrrSrSSS）（由此得：）（于是由第一问的结论有：++++++++q0－－－－－－－－-q’++++++－－－－－－例3、如图所示，平行板电容器两极板之间有两层电介质，电介质表面与极板平行，介电常数分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，电容器两极板的面积为S，两极板上自由电荷面密度为±σ。求：（1）两层电介质内的电位移和场强；（2）电容器的电容；（3）两层电介质表面的极化电荷面密度。解:（1）设这两层电介质中的场强分别为E1和E2，电位移分别为D1和D2，在电介质中作一扁盒形高斯面S1，其两底面与电介质表面平行，在此高斯面内的自由电荷为零，由有电介质时的高斯定理得：D1D2E1E2S101侧底面右底面左底面SdDSdDSdDSdDS积）：为扁盒形高斯面的底面上式化为（其中，故即因侧面法线侧面ASdDDSdDn0,,0211ADADSdDSdDSdDS右底面左底面成反比。可见，场强与介电常数所以：由于：相等。两种电介质内的电位移即120102122122211121rrrrEEEDEDDD为计算电介质中电位移与场强的大小，另作如图的扁盒形高斯面S2，其底面积仍取为A：S2++该高斯面内的自由电荷总量为Aσ，按有电介质时的高斯定理得（注意导体中D=0）：2112DDAADSdDSdDS有与前面的式子相比较，右底面02220111222111,rrEEEDED，可求得：，利用SdSdcddSUqCSqddSqdddEdEU221122112211221122111)()(电容为：是极板上的电荷，所以（2）正、负两极板间的电势差为：（3）设电介质各个面上的极化电荷面密度分别为－σ1’，＋σ1’，－σ2’和＋σ2’（如图）＋σ2’－σ2’－σ1’+σ1’应用真空中的高斯定理于高斯面S2得：)(1120AASdES）（可得：（所以：右底面111001011211)1rrrSAAAAAESdESdEAEAESdESdEAASdESS2121101)(1左底面右底面得：于高斯面应用真空中的高斯定理D1D2E1E2S1)11)12221002010201rrrrrAAAAAA（化简得：（所以例4、金属球半径R，带电荷q，放入r的油中。求：1)球外电场分布；2)紧贴金属球的油面上q。qqr是真空中电场的1/r倍。解：1)过球外油中任一点做球面可看出q与q反号，2）例5、平行金属板，带电0及0，板间U0=300V，若保持板上电荷不变，板间一半空间充介质，一半真空，（如图)，r=5。求：1)板间电压；2)电介质左、右表面束缚电荷面密度；3)电容2E1EC1，C2串联：左表面右表面由前面知：而由场强叠加，在介质中有：所以有：结论是由特例导出的，但普遍成立。成立的条件是：1)电介质充满整个空间；2)介质表面是等势面。以上填充介质后：例6、同轴电缆半径分别为R1和R2，其间充满电介质r1,，r2，分界处半径为R。求：单位长度电缆的电容解：设内外电缆线密度，在介质中做底面半径为r长为l的圆柱面，有1R2RR1r2r外力所作的功为dW=(uA–uB)dq一、带电电容器的能量然后将开关拨向2，发现灯泡会发光，说明带电的电容器中有能量。如图：书P188图7-25的电路，先将开关拨向1，使电容器充有电量Q，两极间的电势差为UA-UB设充电过程中某一时刻，极板带电q，电势差为uA－uB，有dq的正电荷从负极板移到正极板，由于(uA–uB)=q/C，电容器在电荷从零增加至Q的过程中，外力所作的功，即电容器储存的能量为：220)(21)(21211BABAQUUCUUQCQqdqCdWW§7-5电场的能量12EdqqdqccqdqdqUdW1极板面积为S，两板间距为d，电场强度为E，电势差为UA-UB：得：EdUUdSCBA电容器的能量为：SdEEddSUUCWBA22221)(21)(21Sd是电容器的体积，所以，有电场的空间中，单位体积内的能量为（称为电场能量密度）：DEEwe21212二、电场能量+SEd-电容器的能量有两个表达式，能量是属于电荷还是属于电场？由电磁场的传播可知这些能量是属于电场的。无数实验证明：电场能量是定域在电场中的，哪里有电场那里就有能量，无论这电场是稳恒不变的还是交变的。能量是物质的固有属性（能量与物质相联系），电场具有能量，说明电场是一种物质。电场是一种特殊的物质。一般情况下，有电场的空间V中的总电场能为：例1、球形电容器的内、外球面半径各为RA和RB，两球间充满介电常数为ε的均匀电介质，当内、外球面各带有电荷+q及-q时，求电容器的总能量。RARBr解：在两球间距离球心r处场强的大小为：4222232214rqEwrqEe所以电场能量密度为：在半径为r处，取厚度为dr的薄球壳（如图），其体积为：dV=4πr2dr注意：由于球壳很薄，因此，球壳内的场强大小可认为相等。ε由于球壳内场强相等，电场的能量密度当然也相等，所以，薄球壳内的电场能量为：结果是一样的。求总能量：我们也可以直接使用总能量为：积分得电容器中电场的)11(84222)11(8884322222222222422BAABBAeeBARReeeeRRqRRRRqCqWCqWRRqrdrqdWWdrrqdrrrqdVwdWBA例2、平行板电容器带电Q，间距d，缓慢拉动至2d。求：1)电容器能量变化；2)外力做的功解：1)2)作业：7—17、22、26