642.2.3向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及其几何意义人教A版必修4§2.2.3课堂导入：我们已经知道两实数乘积的意义，以及实数乘法运算满足结合律、分配律等运算律，那么实数与向量是否可以相乘？在本节我们就来讨论这个问题．一、向量的数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.规定：①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜②当λ＞0，时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．提示：（1）向量的数乘是实数与向量的乘法运算法则，具有明显（2）由向量的数乘概念可知，向量λa与a向量相同或相反，所以这两个向量是共线向量．把a的模伸长（当｜λ｜＞1时）或缩短（当｜λ｜＜1）时，到它的｜λ｜倍，就是λa的（3）当λ＝0时，有λa＝0；当λ≠0时，而a＝0时，也有λa＝0的充要条件是λ＝0或a＝0（4）实数与向量可以相乘，但不能进行加减运算，如λ+a，a-λ是没有意义的．典例剖析例1证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半规律：对于两个共线向量，只要能够确定它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一变式训练如下图，在平行四边形ABCD的对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使BE＝DF，求证:四边形AECF是平行四边形．二、向量的数乘运算律设a、b为任意向量，λ、μ为实数．则①λ(μa)＝(λμ)a②(λ+μ)a＝λa+μa③λ(a+b）＝λa+λb．注：（1）向量的数乘运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等（2）特别地，有（-λ)a＝-（λa）＝λ（-a）；λ（a-b）＝λa-λb（3）上述运算律是在向量的数乘概念下推导出来的结论，而不是规定.（4）向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，且对任意向量a、b，以及任意实数，都有λ（a±b）＝λa+λb21，，2121典例剖析规律:关于实数与向量的积得有关运算，只需把向量符号a、b、c等，看做一般字母符号，然后按照实数的运算方法进行即可．其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项．三、向量共线定理如果a（a≠0）与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.疑难解析：（1）向量共线定理，是由向量数乘的定义得出的，事实上，如果a（a≠0）与b共线，且向量b的模是向量a的模的μ倍，则｜b｜＝｜μa｜，那么，当a与b同向时，有b＝μa；当a与b反向时，有b＝-μa，从而b＝λa（2）对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ使b＝λa，则由向量数乘定义知a与b（3）定理中a≠0是前提条件，如果a＝0，则λa＝0，当b为非零向量时，a与b共线，但是b≠λa，定理不成立．当b＝0时，b＝λa，但λ（4）如果λb＝μa，则a与b共线，这是向量共线定理的变通，其中λ，μ是两个不同时为零的实数．事实上，若λ＝0，则a＝0，显然a与b共线；若λ≠0，则b＝a，从而a与b共线．例3如下图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BD＝3BN．求证：M、N、C三点共线．规律:利用向量共线定理证明三点共线，是一种十分有效的方法．由三个点可得三个方向相同的向量，只要证明其中任意两个向量共线，就可得出三点共线．通过向量的几何、代数运算，找出两个向量的数乘关系，是解题的主体，通过中间向量（如本例中的a、b）沟通两个向量的共线关系，是解题的一个技巧．变式训练复习：1.实数λ与向量a的积是一个向量，记作2.｜λa｜＝3.当时，λa与a方向相同；λ＜0时，λa与a方向；当时，λa＝0（a≠0）4.实数与向量的积的运算律中，结合律是，λaλ＞0相反λ＝0λ（μa）＝λμ（a）将表示向量a的有向线段先伸长或压缩｜μ｜倍，在伸长或压缩｜λ｜倍．与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩｜λμ｜倍所得结果相同.5.第一分配律是，6.第二分配律是，7.向量b与非零向量a共线的等价条件是8.向量线性运算是指向量的运9.与非零向量a共线的单位向量是．(λ+μ)a＝λa+μaλ(a+b)＝λa+λb存在唯一实数λ,使b＝λa加、减、数乘21，，aa总结实数与向量的积定义实数与向量的积满足的运算律向量b与非零向量a共线的充要条件